文档介绍：目录
第一章WimanValiron理}
5811最大模
$13最大项、中心指标和Newton多边形
$
第二章代数体函数...
,预备知识34
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$.
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$、亏值与重值
$28其有多个亏值的代数体函数
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第世章复域的常微分方程理论初步
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106
119
2123
128
,136
$
$..163
第四章晓有亚绅解和代数体解的微分方f166
$4复合函数的特征165
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155
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第五章复域的彗微分方程的大范图解
55线性常磊分方稿....
$553一阶代数教分方程
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参考文献
名词索引
第一章WimanValiron理论
整函数是整个复平面C内的全给函数,祥据Weieratrass的
规点。一个这样的函数能表为全平面内收敛的霍级数w1马一
乏三=，
数仅其有限多项,则wC5为一多项式;若有无穷多项,划wfa称
为超起整函数、本章我们主要从整函数的霄级数火示式出发,概
述驼丽数的芸千基本怪质,着重论远WimanValiron理论,后者描
述整函数w在其达到最大标的点附近的伯质。此理论在复域
的常徵分方程沛究中具有重要的作用.
51最大摸
设加一歼aozr为一放函数,令政Crom一Maxf1eaJ14
表示wa在闯盗五一tz,z二7}上的最大模。由于ea1
孙2上逃绪,因此必在刀的杀些点处达到最大值。最大核原理
进一步断口这些点必在圆闵9D,一ta,a一7}上即Mr,
何性质得到直接的说明,交能用分析的方法加以证明。由最大模
原理立即导出Mr,w是7的增函数,并东容易得出Mr,
是r的连续丽数。J,Hadamard更进一步排出,logMr,u是
logr的二图数。这一结昂被称为Hadamard三国定理,叙述如
下
=一叉内全绍,列对下0一
一一r一口一丞朐
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Iog佳Cr,加二58万一5grIogMCruw
g之一log7
二1287一I0glogMCroooj、G
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证明设p,9为两整数,且9二0令
5Ca心zntm史
此时,$a在r人z心一上全纯,由最大朱原理,
Maxst1hCa01二MaxtMaxt14CaMaxti5Ca1
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口一J0gMCr吊一Iog伟rio吴
logr一log
对任意给定的s二0可迷取和g,使御
河一
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5
如椎鹫荠阜,I一7MCrutmj则有
logMCr,m志一羞Clegz一logro十logMCrum
心Ieg佩rum8八一108z十log
log口一Iog4
tog7一Iog
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Iog力一logr
如果Ms古14CaJ1一rMra34,则合祥可证明上式成立。
。
2
,则有
吊
一许
反之,对任一鳃函数w3,若存在9之0,使得
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7
则a必为次数不大于9的多项式。
证明首先,有
1PC史1一1sleltao一玲,
,存在正数
广使得当ll一r之力阡,有
1R,史二乙laclrov一一
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因此,当之7阡,有
la一c;1ao十一
7
.
其次,,则安在,一co,使得
超二a十1。
畔心a一别a的系数的表式a一一心团扬,立即
2训
得到Cauchy不等式
a一一团,CL14
于是有
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后+co便导出当二4阡,有a火0命题证毙。
推论若wa为超超整出效,到对任意4二0,有
5沥浩
众所局知,一解析函数w一aa十p本质上为其实
部ez或虞部所确定,故留Schwarz公式
口a一圭菖主二动千河07,五一叉0
立即可得Mr,w的佼