文档介绍：四. 呃米特插值
第5章插值法
Hermite插值多项式构造思路
已知函数f(x)在n+1个不同节点x0,x1,…,xn上,
要求在结点处插值函数与原函数有的值相同, 并且1阶,2阶…导数值也相同. 这就是Hermite插值.
仍采用基函数的方法, 寻找两组基函数:
hi(x) 和 Hi(x) (i=0,1,…,n), 满足:
要求至多2n+1次的多项式H(x), 满足:
Hermite插值多项式
(2)
(1) 都是不超过2n+1次的多项式;
显然,
Hermite插值
Hermite插值基函数的构造方法
第5章插值法
取:
n次Lagrange插值基函数
显然,
另外要求:
于是,
同理, 因为所有且, 因此设
另外要求:
于是,
三次Hermite插值多项式
第5章插值法
最常用的Hermite插值是n=1的情形, 此时,
2节点三次Hermite插值多项式
三次Hermite插值多项式(续)
第5章插值法
计算得到:
因此, 很容易验证, H(x) 满足插值条件.
Hermite插值的误差估计
第5章插值法
n+2个不同的零点
——Hermite插值余项
证明:
设x0<x1<…<xn是[a,b]上n+1个不同的节点, 是函数过这些节点的2n+1次Hermite插值多项式. 若在[a,b]上 2n+2 次连续可导, 则对, 插值余项为:
显然,
对, 且, 构造辅助函数
其中,
由罗尔(Rolle)定理, 在(a,b)内至少有n+1个零点ti, 且.
另外,
显然,
在[a,b]上至少有2n+2个不同的零点.
n+1阶多项式
对, 上式成为, 自然成立.
证明(续)
证毕#
第5章插值法
即存在, 使得,
反复使用罗尔定理,
在(a,b)内至少有1个零点.
特例(n=1): 三次Hermite插值的误差
—— Hermite插值的唯一性
第5章插值法
若, 则满足插值条件的Hermite多项式是唯一的.
证明: 设和是满足同一插值要求的2n+1次Hermite多项式, 则:
因此, 可看成的2n+1次Hermite插值多项式.
余项:
证毕#
推论:
不超过2n+1次的多项式, 在任意n+1个不同点上的Hermite插值多项式就是其自身;
由推论①, 其Hermite插值多项式就是其自身, 即H(x)=f(x).
证明: 令, 显然是次数不超过2n+1的多项式, 且满足:
证毕#
另一方面, H(x)=1满足上述插值条件, 根据唯一性定理, H(x)≡1,即,
分段三次Hermite插值
第5章插值法
设x0<x1<…<xn是[a,b]上n+1个不同的节点, 在每个小区间[xi,xi+1]上作三次Hermite插值, 这样就得到分段三次Hermite插值多项式H(x), 满足:
(1)
分段三次Hermite插值的构造
(2) 在每个[xi,xi+1]上, H(x)都是3次多项式.
H(x)在[a,b]上连续, 且一阶导数连续.
分段三次Hermite插值的表达式
分段三次Hermite插值的误差估计
其中,
最大区
间间距
Hermite插值的一般形式
第5章插值法
已知函数f(x)在n+1个不同节点x0,x1,…,xn上,
可以证明, 满足上述条件的插值多项式是唯一的, 余项由以下定理给出:
Hermite插值一般形式的描述
及部分节点上的导数值
求一个至多n+m+1次的多项式H(x), 满足:
Hermite插值一般形式的余项表示
设x0,…,xn为区间[a,b]上的互异点, H(x)是f(x)的Hermite插值多项式, 且满足上述条件(*). 若, 则对有,
【证明】
第5章插值法
n+2个不同的零点
显然,
对, 且, 构造辅助函数
其中,
由罗尔(Rolle)定理, 在(a,b)内至少有n+1个零点ti, 且.
另外,
由插值条件,
在[a,b]上至少有n+m+2个不同的零点.
n+1阶多项式
于是,