文档介绍：4、偏导数的计算法
(1)二元函数情况
①将中的看作常量而对求导可得.
②将中的看作常量而对求导可得.
例1(1) 求在点处的偏导数.
解:, .
, .
(2 )求在点的偏导数.
解: , .
例2求下列函数的偏导数
(注意理解复合函数求导数:层层求导,导数相乘的含义)
(1)求.
解: , .
(2)
解:
.
(3)
解:.
(4)设,其中可微,求
解:
(5)(考虑两层复合的函数)
解:
(6)(考虑三层复合的函数)
解6、偏导数与连续的关系
一元函数中在某点可导连续,
但是多元函数中在某点偏导数存在连续.
例如:设
由于,
.
即在点两个偏导数都存在,但在点显然间断. 因为.
又如,在点处两个偏导数均存在且为0,但是在点不连续,因为
极限不存在.
例是否存在一个函数,使得,?
(分析:
,所以这样的不存在.)
二、高阶偏导数
1、高阶偏导数:设偏导函数在区域内存在有偏导数,则称此偏导数为的二阶偏导数,并记作,,
同理: ,,
,等等.
例9求函数的二阶偏导数.
解:
,
;
.
2.【定理】:如果函数的两个二阶混合偏导,
在区域内连续,则在该区域内必.
.
例13 设,于是
,, ,
,,,
.,.
例14设,
证明:.
证明: , ;
同理, .
.
三、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性
在一元函数微积分中我们学习了边际与弹性概念,它们分别表示经济函数在一点的变化率与
,如某商品销售
是它的价格及其它商品价格的函数,,两商品为互为替代品; 当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品;当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.
交叉弹性定义:设函数在点处偏导数存在,函数对的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为函数对从到两点间的弹性.