文档介绍：正方形的对称性正方形是一种比较特殊的图形,它不仅是特殊的矩形,又是特殊的菱形,身兼二者性质之和。在对称性方面也如此,既是轴对称,对称轴有4条;又是旋转对称,最小旋转角为90°,同时又是中心对称图形。利用它的对称性可较好来解题。例1:已知:如图,正方形ABCD边长为4,AC是其一条对角线,求图中阴影部分的面积。观察到每个阴影部分的面积都不容易求,注意到AC是正方形的一条对称轴,可将阴影部分的面积对称到一起,构成⊿ADC或⊿ABC,这时阴影部分面积=正方形面积一半=4×4÷2=8例2:已知:在正方形ABCD中,P为对角线AC上一点,过P作PE⊥AD,PF⊥CD,垂足分别为E、F。连接EF,PB。求证:EF=PB分析:EF和PB没有构成三角形或四边形,直接不太好联系。由于AC是正方形的一条对称轴,B、D关于AC对称,故有PB=PD,这样PD和EF就是四边形DEPF的对角线,易证这个四边形是矩形。例3:已知:在正方形ABCD中,E、F分别为AD、DC上一点,AE=DF,你能得出哪些结论。(至少写2个)分析:利用正方形的旋转对称性,又AE=DF,可得⊿BAE绕点O旋转90°即得⊿ADF。所以AF=BE,AF⊥BE,AE=DF等。例4:在正方形ABCD中有一点P,使⊿PAB、⊿PBC、⊿PDC、⊿PAD都是等腰三角形。则这样的点有几个?分析:很容易知道,正方形的中心P就是满足条件的一个点。将P点沿竖直对称轴向上运动,在此过程中,⊿PAB、⊿PDC仍然是等腰三角形,PB≠PC,只有可能PC=CB(如下图),由对称性知DP=DA。此时点P符合要求。(相当于以正方形一边为边向内作正三角形,落在正方形内的点即为所求)由正方形的轴对称性知,这样的点共有4个。如果是以正方形的一边为边向外作正三角形,易知此时也满足要求。由对称性可知,这样的点也有4个。所以,符合条件的点共有9个。正方形的对称性比较特殊,在解题时要充分注意利用它的对称性,以其会有意想不到的收获。