文档介绍：从多项式插值的余项估计式
可以看出余项的大小既与插值节点的个数n+1有关,也与f (x)的高阶导数有关。
以拉格朗日插值为例,如果f (x)在区间[a,b]上存在任意阶导数,且存在于n无关的常数M
§3 样条插值
1 高次插值的误差分析
即在[a,b]上函数f(x)要有高阶导数,而且高阶导数要有一致的界。
可以看出,当插值节点的个数越多,误差越小,我们还不能简单的认为对所有的插值问题当插值节点的个数越多,误差就越小。
上面的估计式是有条件的。
则由⑦式有
使得
例如,对于给定区间[-1,1]上的函数
可以证明
取等距节点,譬如把[-1,1]等分,分点为
可以构造10次插值多项式,用拉格朗日公式有
其中
计算结果列于下表,并作草图
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从图中可以看出,用
近似代替 f (x) 时,
只有当x在区间[-,]内,逼近程度较好,在其它地方误差就很大,特别在端点附近,误差就更大。如
对于高次插值所发生的这种现象,称为龙格(Runge)现象。它表明加密节点并不能保证所得到的插值多项式能更好地逼近f(x) 。由于以上原因,一般都避免使用高次插值,常用的方法就是分段低次插值。
当给定了n+1个节点
上的函数值
后,若要计算点
处函数 f(x)的近似值,可先选取两个
和
,使
然后在区间
上作线性插值,即得
2 分段线性插值与分段二次插值
这种分段低次插值称为分段线性插值。
节点
类似地,为求f(x)的近似值,也可选取距点x最近的3个节点进行二次插值,即取
在几何上就是用分段抛物线代替曲线,故分段二次插值又称为抛物线插值。
这种分段低次插值叫分段二次插值。
在几何上就是用折线代替曲线,故分段线性插值又称为折线插值。
对于给定的n+1个节点,求函数的近似值,可以作n次插值多项式,当n较大时,高次插值不仅计算复杂,而且还可能出现高阶导数不一致收敛的现象;
若采用分段插值,虽计算简单,也具有一致收敛性,但光滑性比较差.
有些实际问题,比如:船体放样,飞机的机翼设计等要求二阶光滑度(有二阶的连续导数)。过去,工程师制图时,往往用一根富有弹性的木条(称为样条),把它用压铁固定在样点上,其他地方让它自由弯曲,然后画一条曲线,称为样条曲线。
3 三次样条插值