文档介绍：第七章参数估计
:矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量
= µ = σ 2
设 X 为总体, EX , DX , x1 , x2 ,", xn 为其样本
则µ 的矩估计µˆ= x
n 2
σ 2 σ 2 = 2 = 1 −
的矩估计ˆ Sn ∑(xi x)
n i=1
µ σ 2 µ σ 2 µ σ 2
例 1 设总体 X ~ N( , ) ,其中, 皆未知, x1 , x2 ,", xn 为其样本,求, 的矩估计
解:因为 EX = µ ,故µˆ= x
= σ 2 σ 2 = 2
DX ,故ˆ Sn
例 2 设总体 X ~U (0,θ) ,θ> 0 未知,求θ的矩估计
θθ
解:因为 EX = ,故= x(矩法方程),由此解得θˆ= 2x ,即为θ的矩估计
2 2
< <
例 3 设总体 X ~ B(1, P) ,其中 0 P 1,未知 x1 , x2 ,", xn 为其样本,求 P 的矩估计
解:由 EX = P ,故 P 的矩估计 Pˆ= x
θθ∈θ
设总体 X,具有概率密度函数 f (x; ) , ○H 其中为未知参数,其变化范围为○H , x1 , x2 ,", xn 为其样本,
则似然函数为
n
θ= θ
L( ) f (xi ; )
i=1
θˆθˆ= θθ∈θˆθ
若存在 L 使 L()maxL { L( ), ○H },则称 L 为的极大似然估计
n
一般求法:①由题设,求出θ= θ的表达式
L( ) f (xi ; )
i=1
n
θθ=
②取对数: lnLfx ( )∑ ln (i ; ) *
i=1
d
③求导并令其等于 0,建立似然方程 lnL (θ)= 0 *
dθ
θθˆ
④解之即得的极大似然估计 2
θ−(θ+1) >
θ= x , x 1 θ>
例 4 设 x1 , x2 ,", xn 是总体 X 的样本,总体概率密度为 f (x; ) , ( 1)
0, 其他
θθˆθˆ
求的矩估计 1 和极大似然估计 2
+∞−(θ+1) θ x
解:(1)由 EX = ∫ x⋅θx dx = =ˆ x 解得θˆ= 为θ之矩估计
1 θ−1 1 x −1
−θ+
n n n ( 1)
θ= θ= θ−(θ+1) = θ n
(2)似然函数 L( ) ∏ f (xi ; ) ∏∏xi xi
i=1 i=1 i=1
n
θθθ=−+
lnLn ( ) ln ( 1)∑ ln xi *
i=1
d ln L(θ) n n n
= −∑ln x =ˆ 0 解得θ的极大似然估计θˆ=
θθ i 2 n
d i=1
∑ln xi
i=1
θθ> θθˆ
例 5 设总体 X~U (0, ) , 0 , x1 , x2 ,", xn 为其样本,求的极大似然估计
解: 由于按常规方法建立的似然方程无解,故用极大似然估计