文档介绍：第三章多维随机变量及其概率分布
1. 二维随机变量(X,Y)
(X,Y) 的分布函数 F (x, y) = P(X ≤ x,Y ≤ y)
= = +∞
X 的分布函数 F1 (x) lim F (x, y) F (x, )
y→∞
= = +∞
Y 的分布函数 F2 (y) lim F (x, y) F ( , y)
x→∞
lim F (x, y) = 0 = lim F (x, y)
x→−∞ y→−∞
2. 离散型(X,Y) 的分布律 Pij
P = P(X = x ,Y = y ) ≥ 0 ≥
ij i i PK 0
(与比较)
P = 1 P = 1
∑∑ ij ∑ K
ij K
= = =
Pi P(X xi ) ∑ Pij
j
= = =
Pj P(Y yi ) ∑ Pij
i
例1 设(X,Y) 的分布律为
求(1) a = ?
(2) P(X = 0)
(3) P(Y ≤ 2)
(4) P(X < 1,Y ≤ 2)
(5) P(X = Y)
1 3
= = + + + + + = + + + + + =
解:(1)由∑∑ Pij 1知∑∑Pij (P01 P02 P03 P11 P12 P13 ) a 1
ij ij==0 1
解得 a = 0
3
== = + += + + =
(2) PX( 0)∑ P0010203j P P P
j=1
1 1
≤= = + = = + = + = + + + =
(3) P(Y 2) P(Y 1) P(Y 2) P1 P2 ∑ Pi1 ∑ Pi2 ( ) ( 0)
i=0 i=0
< ≤= = ≤= = = + = = = + = + =
(4) P(X 1,Y 2) P(X 0,Y 2) P(X 0,Y 1) P(X 0,Y 2) P01 P02
= = =
(5) P(X Y) P11
3. 连续型(X,Y) 的分布密度
≥
f (x, y) 0
设 D 为平面上的区域, f (x, y) 为(X,Y) 的分布密度,则其满足: +∞+∞
f (x, y)dxdy = 1
∫∫−∞−∞
P((X,Y) ∈ D) = ∫∫ f (x, y)dxdy
D
xy
特别, F (x, y) = P(X ≤ x,Y ≤ y) = f (u,v)dudv
∫∫−∞∞−
∂ 2 F (x, y)
= f (x, y)
∂x∂y
= ⋅= ⋅
若 X,Y 相互独立,则有 F (x, y) F1 (x) F2 (y) , f (x, y) f1 (x) f2 (y) ,其中 F1 (x), f1 (x) 分别为 X 的边缘
分布函数和分布密度, F2 (y), f2 (y) 分别为 Y 的边缘分布函数和