文档介绍：第三章几何向量
解析几何是用代数的方法研究几何图形的几何学. 中学学过平面解析几何,那是用代数方法研究平面向何图形. 空间解析几何是用代数方法研究空间几何图形,也是多元函数微积分的基础.
本章主要研究如下几个问题: 1. 几何向量的线性运算; 2. 几何向量的数量积(内积)、向量积(外积)、混合积; 3. 空间中的直线与平面.
几何向量及其线性运算
几何向量的概念
现实生活中有这样的两种量:数量(标量),即仅有大小的量,如时间、长度、质量、温度等. 向量(矢量)即不仅有大小而且还有方向的量,如:力、速度、加速度、电场强度等,仅知道力的大小,不了解它的方向是不行的. 向量是研究物理学及几何学不可缺少的工具.
:有大小,又有方向的量称为向量. 用有向线段表示向量,长度表示向量的大小,用简头表示方向,称这样的向量为几何向量(简称向量),记或
:(长度)向量的大小,记作且
:模为1的向量、不同的方向上有不同的单位向量,
:模为0的向量 注:0向量没有确定的方向或说方向任意.
:与大小相等,方向相反.
:(与起点无关)可以平行移动,(1)方向相同;(2)大小相等(模相等),我们研究的都是自由向量. 所以任意两向量都共面.
几何向量的线性运算
一、加法运算:(向量的加法,数乘向量)
:设,则以为邻边的平行四边形的对角线称为与的和,记.
:(便于多个向量求和). 将的终点与的起点重合在一起. 说明:若在同一直线上,则其和如:
(1). 当与方向同时,和向量的方向与原来两个向量的方向相同. 其模=两模之和. (2). 当与方向相反时,和向量的方向与较长的向量的方向相同,其模=两模之差.
3多边形法则:几个向量之和,只要把它们相继地首尾连接后,从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量,即为和向量, .
: (1) ,交换律; (2) ,结合律; (3) ; (4) .
:为平行四边形的另一对角线向量 . 注意:不要把向量与数混淆,实数是有序的,可比大小,而向量式子无意义,当然向量的长度可比大小,根据三角形两边之和不小于第三边, 的长度满足三角不等式.
二、数乘向量:
为了描述向量的“伸缩”,定义实数与向量的乘法.
: ,则是一个向量,与共线,模与同向, 时与反向, .
若.
: (1) ; (2) ,(结合律); (3) ; (4) ,(分配律).
:
表示与
同向的单位向量.
:
,(共线)即可用同一个起点的有向线段来表示.
注:
与
都没有意义.
例1:在内,设,试用表示.
解: 的对角线互相平分
,
又.
ABCD
Y
向量的数量积,向量积和混合积
向量在轴上的投影
刚才讨论的向量及运算只是在几何作图,而这节的目的是用投影法得到向量的坐标,即将向量与数对应起来,把向量的代数运算转化为数量(坐标)的代数运算,实际上是对向量及运算定量的描述.