文档介绍：第八章二次型与二次曲面
二次型讨论的对象是多元二次齐次函数,这种函数在物理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用. 例如在三维空间的几何问题中,一般二次曲面在直角坐标系下表示为三元二次函数,通过对二次型的讨论,可以研究二次曲面的分类.
本章主要讨论:
1.  二次型的理论;
2.  空间曲面与曲线;
3. 二次曲面的分类.
实二次型
二次型的定义及矩阵表示
个变量的二次齐次函数

称为元二次型,简称二次型.
当为实数时,称为实二次型, 为复数时为复二次型,本书只讨论实二次型.
:
则二次型的矩阵形式为
为二次型的矩阵, 为二次型
的秩.

注:讨论二次型问题,首要的问题是给定二次型能准确地写出二次型的矩阵,反之,给定一个对称阵,会写出以它为矩阵的二次型. 这里的关键概念是二次型的矩阵是一个对称矩阵.
例1 设二次型试写出二次型
的矩阵.( 为三元二次型)
解:将交叉项的系数即平均分配给及
的二次型的系数矩阵为
.
例2 将二次型写成矩阵形式.
解: 是一个四元二次型,先写出二次型的矩阵
例3 设,试写出以为矩阵的二次型.
分析: 是一个3阶对称阵,对应的三元二次型,把与
合并后写出二次型.
解:设
合同矩阵
(合同)二个阶方阵和, 可逆阵
,使,则称与合同(Congruent)记成.
矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似,也是阶方阵之间的一种等价关系. 即
,合同等秩,,则一定不合同.
:
(1)自反性: . (2)对称性: 则.
(3)传递性: ,则.
(4) 与合同,则. 可逆, .
4.(二次型的变换)合同二次型
设二次型,经可逆线性变换( 可逆)

其中,即与合同, 仍是对称阵.
所以经可逆线性变换后,二次型的对应矩阵是合同的. 也可以说:合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵[我们教材是将变量看成个基下的坐标, 是一个基到另一个基的过渡矩阵,合同阵是不同基下的矩阵].
(不但和对角阵相似,也与对角阵合同). 由于实对称可正交相似对角化. 所以存在正交阵,使所以实对称阵都与对角阵合同. 换句话说,就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变换化成只有平方项而没有混合项. 这就引出了二次型的标准形的概念.
例4. 与矩阵既相似又合同的矩阵是( )

(A) . (B) .
(C) . (D) .
分析: 是实对称矩阵,所以正交阵,使它和一个对角阵既相似又合同,对角阵的对角元恰是的特征值.
解:
的特征值是,与既相似又合同的矩阵是
,所以应选(D).