文档介绍:柯西不等式与排序不等式及其应用柯西不等式与排序不等式及其应用目标认知学习目标:1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式,理解它们的几何意义,掌握它们之间的关系(2、认识柯西不等式的一般形式,理解它的几何意义,、了解排序不等式,会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用(重点::利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式学习策略:这部分内容是新增内容,是数学竞赛中的热点考点,随着数学素养的提高,高考可能会涉及。学习时掌握好二维形式的柯西不等式的数组特点,理解好有序的数组的构造方法。知识要点梳理知识点一::(1)向量形式:设是两个向量,则(当且仅当是零向量或存在实数k,使时,等号成立)。(2)代数形式:?若a、b、c、d都是实数,则(当且仅当ad=bc时,等号成立)?若a、b、c、d都是正实数,则(当且仅当ad=bc时,等号成立)?若a、b、c、d都是实数,则(当且仅当ad=bc时,等号成立)注意:柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示;(3)三角形式:设,则。(代数形式):若都是实数,则,当且仅当或存在实数k,使得时,等号成立。(代数形式):若都是实数,则,当且仅当或存在实数k,使得时,等号成立。知识点二:排序不等式(又称排序原理)设为两组实数,是的任一排列,称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和;称为这两个实数组的反序积之和简称反序和或逆序和;称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和;则??即:反序和?乱序和?顺序和(当且仅当时,反序和等于顺序和。注意:学习排序不等式要抓住它的本质含义:两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大(反之,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列(规律方法指导(1)柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用灵活广泛,灵活巧妙的运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。(2)使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件,继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。(3)利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。(4)排序不等式要抓住它的本质含义:两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大(反之,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列(经典例题透析类型一:利用柯西不等式求最值1(求函数的最大值(思路点拨:利用不等式解决最值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件(这个函数的解析式是两部分的和,若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值(也可以利用导数求解。解析:法一:?且,?函数的定义域为,且,当且仅当时,等号成立,即时函数取最大值,最大值为法二:?且,?函数的定义域为由,得即,解得?时函数取最大值,:当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解(不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键(举一反三:【变式1】设且,求的最大值及最小值。【答案】利用柯西不等式得故最大值为10,最小值为-10【变式2】已知,,求的最值.【答案】法一:由柯西不等式于是的最大值为,:由柯西不等式于是的最大值为,最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29,求函数的最大值(【答案】根据柯西不等式,故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,即时等号成立,此时,评注:根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑(类型二:利用柯西不等式证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便,而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。(1)巧拆常数:2(设、、为正数且各不相等,求证:思路点拨:?、、均为正,?为证结论正确只需证:而,又,故可利用柯西不等式证明之。证明:又、、各不相等,故等号不能成立?。(2)重新安排某些项的次序:3(、为非负数,+=1,,求证:思路点拨:不等号左边为两个二项式积,,直接利用柯西不等式,得不到结论,但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置,就能证明结论了。证明:?+=1?即(3)改变结构:4(若>>,求证:思路点拨:初见并不能使用柯西不等式,改造结构后便可使用柯西不等式了。,,?,?所证结论改为证。证明:?(4)添项:5(,求证:思路点拨:左端变形,?只需证此式即可。证明:举一反三:【变式1】设a,b,c为正数,求证:(【答案】由柯西不等式:,即。,(同理将上面三个同向不等式相加得,于是(【变式2】设a,b,c为正数,求证:。【答案