文档介绍：浅谈数学中的对称性
摘要:通过对代数、几何、解析几何中对称的分析,说明了数学中的对称对的重要性。
关键词:代数;几何;解析几何;对称
对称,物体或图形在某种变换条件(例如绕直线的旋转、对于平面的反映,等等)下,其相同部分间有规律重复的现象,亦即在一定变换条件下的不变现象。对称的现象,广泛地存在于各个学科之中,比如说,在建筑学中,很多建筑如故宫呈轴对称之势;在生物学中,很多动物也呈左右对称的体形;在艺术领域,各种风格的服装图画也表现出对称的形态。那么,数学中的对称性是怎样的呢?让我们来简析一下数学的对称性吧。
㈠寻求数学对称之源,在代数中感受数学的对称之美
⑴寻求数学之源
在数学学习的过程中,很多时候,提到对称便让我们想到某些几何图形。然而,数学对称的源头却是来自于代数,来自于多项式方程的解,这就使很多人感到疑惑了,所以,首先,让我们通过多项式方程的求解来发现代数中的对称。
一元 n 次方程的根的对称多项式
1、当n= 2 时, 假设a、 b、 c 都是实数, 而且 a ≠0,x是未知数, 那么 x 的二次方程 ax2+ bx+ c= 0 的两个根是 x1=- b+b2- 4ac2a和 x2=- b-b2- 4ac2a依照判别式 v = b2- 4ac> 0、 v = b2- 4ac= 0、 v = b2- 4ac< 0三种不同情况, 两根x1, x2或是不等的两个实数, 或是相等的两个实数, 或是共轭的两个复数。韦达定理告诉我们 x1+ x2= -b/a, x1x2=c/a, 把 x1 和x2 对换结果仍不变, 因为 x1+ x2= x2+ x1, x1x2= x2x1凡是有这样性质的 x1 和 x2 的多项式称为对称多项式。
2、当 n> 2 时设 a0, a1… an 都是复数且 a0 ≠0,x 是未知数,那么 x 的 n 次方程: a0xn+ a1xn- 1+…+ an- 1x+ an= 0 有 n个根 x1, x2… xn。韦达定理告诉我们:x1+ x2+ … xn= -a1/a0,x1x2+ x1x3+ .. x1xn+ x2x3+ ..+ x2xn+..+ xn- 1xn=. . . . . . . . . . . .x1x2.. xn= ( - 1)nan/a0像x1+ x2+ … xn,x1x2+ x1x3+ x1xn+ x2x3+ …+ x2xn…+ xn- 1xn. . . . . . . . . . . .x1x2 , , xn这样的多项式, 不论把哪二个根 xi, xj( i ≠ j) 对换一下, 这些多项式都不变动, 所以称为 x1, x2…xn 的对称多项式。
在一元 n 次方程求解的过程中,我们发现了其解总是为对称多项式,,这种有趣的现象很多很多,接下来让我们从回文数中探索一下代数中对称性。
⑵有趣的回文数
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
……
111111111×111111111=12345678987654321
一般来说,通过以下方式可得到一个回文数:
29+92=121
68 +86=154
154 + 451=605
605 +506=1111
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