文档介绍：,只给出了其他一些条件(如函数的定义域,经过的特殊点、解析递推式、部分图象特征等)的函数问题,它是高中数学函数部分的难点,也是高中与大学函数部分的一个衔接点,因为抽象函数无具体解析式,所以理解、研究起来往往困难重重,但是这类问题对于培养学生的创新精神和实践能力,增强用数学的意识,有着十分重要的作用。近几年全国高考年年都设置了关与抽象型函数问题的试题,分量一年比一年重。为此,本专题将着重探讨抽象函数性质、题型及求解抽象型函数问题的思路与策略。第一部分:抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性定理1:若函数)(xfy?定义域为R,且满足),()(xbfxaf???则函数)(xfy?的图象关于直线2bax??对称。证明:设函数)(xfy?图象上任一点P),(yx关于直线2bax??对称的点为Q),,(nm则有???????nymbax,又)()(xbfxaf???且)(xfy?)]([)(mbbfmbafn??????有)(mf?,即点Q也在函数)(xfy?的图象上,由点P的任意性可知,命题成立。推论1若函数)(xfy?定义域为R,且满足)()(xafxaf???(或)()2(xfxaf??),则它的图象关于直线ax?对称。推论2若函数)(xfy?定义域为R,且满足)()(xafxaf???,)(?xf有n个根,则此n个根的和为na..定理2若函数??xf定义域为R,且满足acxbfxaf()()(????、b、c为常数),则函数)(xfy?的图象关于点(2ba?,2c)对称。证明:在函数)(xf的图象上任取一点A()(,tafta??,则点A关于点(2ba?,2c)的对称点为B()(,tafctb???),显然B点是)(xf图象上的点,即函数)(xf图象上任意一点关于点(2ba?,2c)的对称点仍在函数)(xf图象上,故)(xf的图象关于点(2ba?,2c))(xfy?定义域为R,且满足)()(xafxaf???=0(a为常数),则)(xf的图象关于点(a,0)对称。推论2若函数)(xfy?定义域为R,且满足)()(xafxaf???=0,又若)(xf=0有n个根,则此n根之和为na。定理3若)(xfy?是定义在R上的函数,则)()(xbfyxafy????与两函数图象关于直线2abx??对称。证明:在)(xafy??图象上任取一点A()(,taft?),则A点关于直线2abx??对称点为B()(,taftab???),显然B点在)(xby??的图象上,即)(xafy??图象上任意一点关于直线2abx??的对称点都在)(xby??图象上,反之亦成立,故原命题成立。定理4若)(xfy?是定义在R上的函数,则两函数)(xafy??与抽象数函问题.)(xbfcy???图象关于点(2,2cab?)对称。证明:在)(xafy??图象上任取一点A()(,taft?),则A点关于点(2,2cab?)对称点为B()(,tafctab????),显然B点在)(xbfcy???的图象上,即)(xafy??图象上任意一点关于点(2,2cab?)的对称点都在)(xbfcy???图象上,反之亦成立,故原命题成立。2、抽象函数的周期性定理5若函数)(xfy?定义域为R,且满足条件)()(bxfaxf???,则)(xfy?是以baT??为周期的周期函数。证明:由题设知??)()()(xfbbxfabxf??????,故)(xfy?是以baT??为周期的的周期函数。定理6若函数)(xfy?定义域为R,且满足条件)()(bxfaxf????,则)(xfy?是以)(baT??2为周期的周期函数。证明:????)()()2()2(xfbbxfbbaxfabaxf????????????,故)(xfy?是以)(baT??2为周期的周期函数。定理7若函数)(xfy?的图象关于直线)(babxax???与对称,则函数)(xf是以)(2abT??为周期的周期函数。证明:由已知可得:????????????)2()2()2()()2()(xbfxafxbfxfxafxf抽象数函问题.)]2(2[)22()2()2(xabfabxfxbfxaf??????????=)()2(xfxaf??,则)(xf是以)(2abT??为周期的周期函数。定理8若函数)(xfy?的图象关于直线点))(0,()0,(baba?与点对称,则函数)(xf是以)(2abT??为周期的周期函数。证明:由已知可得:??????????????)2()2()2()()2()(xbfxafxbfxfxafxf)]2(2[)22()2()2(xab