文档介绍：抽象数函问题
抽象型函数通常是指没有给出函数的具体解析式,只给出了其他一些条件(如函数的定义域,经过的特殊点、解析递推式、部分图象特征等)的函数问题,它是高中数学函数部分的难点,也是高中与大学函数部分的一个衔接点,因为抽象函数无具体解析式,所以理解、研究起来往往困难重重,但是这类问题对于培养学生的创新精神和实践能力,增强用数学的意识,有着十分重要的作用。近几年全国高考年年都设置了关与抽象型函数问题的试题,分量一年比一年重。为此,本专题将着重探讨抽象函数性质、题型及求解抽象型函数问题的思路与策略。
第一部分:抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
定理1:若函数定义域为R,且满足则函数的图象关于直线对称。
证明:设函数图象上任一点P关于直线对称的点为
Q则有, 又且
,即点Q也在函数的图象上,由点P的任意性可知,命题成立。
推论1 若函数定义域为R,且满足(或),则它的图象关于直线对称。
推论2 若函数定义域为R,且满足,又若方程有n个根,则此n个根的和为na..
定理2 若函数定义域为R,且满足、b、c为常数),则函数的图象关于点(,)对称。
证明:在函数的图象上任取一点A(,则点A关于点(,)的对称点为B(),显然B点是图象上的点,即函数图象上任意一点关于点(,)的对称点仍在函数图象上,故的图象关于点(,)对称.
推论1若函数定义域为R,且满足=0(a为常数),则的图象关于点(a,0)对称。
推论2若函数定义域为R,且满足=0,又若=0有n个根,则此n根之和为na。
定理3若是定义在R上的函数,则两函数图象关于直线对称。
证明:在图象上任取一点A(),则A点关于直线对称点为B(),显然B点在的图象上,即图象上任意一点关于直线的对称点都在图象上,反之亦成立,故原命题成立。
定理4 若是定义在R上的函数,则两函数与图象关于点()对称。
证明:在图象上任取一点A(),则A点关于点()对称点为B(),显然B点在的图象上,即图象上任意一点关于点()的对称点都在图象上,反之亦成立,故原命题成立。
2、抽象函数的周期性
定理5 若函数定义域为R,且满足条件,则是以为周期的周期函数。
证明:由题设知,故是以为周期的的周期函数。
定理6若函数定义域为R,且满足条件,则是以为周期的周期函数。
证明:,故是以为周期的周期函数。
定理7若函数的图象关于直线对称,则函数是以为周期的周期函数。
证明:由已知可得:
=
,则是以为周期的周期函数。
定理8若函数的图象关于直线点对称,则函数是以为周期的周期函数。
证明:由已知可得:
=
--,则是以为周期的周期函数。
定理9若函数的图象关于直线对称,则函数是以为周期的周期函数。
证明:关于对称,关于对称,
=,故是以为周期的周期函数。
第二部分抽象函数试题的类型与求解策略
[内容提要] 抽象函数的常见题型有:; ;
; ;
。
虽然抽象函数具有一定的抽象性,构思新颖,且性质隐而不露;其实,大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景的,在这里,有一个从具体到抽象(编题),从抽象到具体(解题)的辩证关系。
解题时,若能根据题设中抽象函数的性质寻求抽象函数的特殊模型,灵活变通,便可寻找到解决问题的突破口,其解题策略通常是:
1、利用函数的定义求解; 2、利用函数的性质求解;
3、利用特殊化思想求解; 4、利用数形结合思想求解。
[范例精讲]
一、利用特殊模型
中学阶段,抽象型函数对应的具体特殊函数模型有:
抽象型函数f(x)具有性质
特殊函数模型
正比例函数
指数函数
对数函数
余弦函数
例1若函数具有性质:①为偶函数;②对任意,都有=,则函数的解析式可以是。(只须写出满足条件的的一个解析式即可)
分析与解:看到已知条件中有关于的等式,所以联想到三角函数,结合
为偶函数,立得满足条件的函数的解析式可以是cos4x或
。
例2若函数在R上有定义,且
,,则(用数学解答)。
分析与解:因为,所以联想到三角公式,选择一个恰当的同时满足题设的两个条件,如,再运用的条件,此时,,容易求出,那么,这个是怎样想出来的呢?可运用待定系数法,设=,则有=
.
,选取一个特殊值,则符合题意。
例3 设函数的定义域为,对于任意实数、,总有
,且时,.
⑴证明:,且时,;
⑵证明: 在上单调递减;
⑶设,,若,确定的范围.
分析与解:由于,所以联想到指数函数,则题意十分简明。为理解和解决题目作了一个模型和方法铺垫。
⑴在中,取,有,.又设:有,