文档介绍：深圳AP&A-,但却非常重要。数学当中没有巧遇,凡是重要的结果都应该有一个解释,一旦掌握了它,就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释,通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。(1)二维形式2222()()()abcdacbd++≥+yxQ(c,d)P(a,b)O图3-1如图,可知线段OP,OQ及PQ的长度分别由下面的式子给出:222222,,()()OPabOQcdPQacbd=+=+=-+-θ表示OP与OQ的夹角。由余弦定理,我们有2222cosPQOPOQOPOQθ=+-?将OP,OQ,PQ的值代入,化简得到2222cosacbdabcdθ+=+?+而20cos1θ≤≤,故有222222()cos1()()acbdabcdθ+=≤++于是2222()()()abcdacbd++≥+这就是柯西不等式的二维形式。我们可以看到当且仅当2cos1θ=,即当且仅当θ是零或平角,亦即当且仅当,,OPQ在同一条直线上是时等号成立。在这种情形,斜率之间必定存在一个等式;换句话说,除非0cd==,我们们总有abcd=.(2)三维形式222222123123112233()()()aaabbbababab++++≥++对于三维情形,设123123(,,),(,,)PaaaQbbb是不同于原点(0,0,0)O的两个点,则OP与OQ之间的夹角θ的余弦有112233222222123123cosabababaaabbbθ++=++?++又由2cos1θ≤,得到柯西不等式的三维形式:222222123123112233()()()aaabbbababab++++≥++当且仅当,,OPQ三点共线时,等号成立;此时只要这里的123,,bbb都不是零,就有312123aaabbb==,在复数范围内同样也有柯西不等式成立。定理:若12(,,)naaaa=???和12(,,,)nbbbb=???是两个复数序列,则有222111()()nnnkkkkkkkabab===≤∑∑∑,当且仅当数列a和b成比例时等式成立。证明:设λ是复数,有恒等式222211111()()2Re()nnnnnkkkkkkkkkkkkkkabababababλλλλλ=====-=--=+-∑∑∑∑∑若121nkkknkkabbλ===∑∑(其中0b≠),则有222121110nkknnkkkknkkkkabababλ====-=-≥∑∑∑∑由此推出了复数形式的柯西不等式。除此之外,我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。定理1:若1(,,)naaa=???和1(,,)nbbb=???是实数列,且01x≤≤,则222111()(2)(2)nnnkkijkijkijkijkijkijabxabaxaabxbb=≠=<=<+≤++∑∑∑∑∑∑当0x=时,这个不等式即为柯西不等式。定理2:若1(,,)naaa=???和1(,,)nbbb=???是正数序列,且12zy≤≤≤或01yz≤≤≤,则22111()(nnnyyykkkkkkaba--===≥≥∑∑∑这个不等式实际上是Holder不等式的推论。我们知道,当数列{}na和{}nb取任意项时,柯西不等式均成立。对于所考察的数列{}na和{}nb具有偶数项时,我们就可以加细柯西不等式。定理:若122(,,,)naaaa=???且122(,,,)nbbbb=???是实数列,则2222222221212111