文档介绍：一、:在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同。性质:在表达式或方程中自由指标可以出现多次,但不得在同项内重复出现两次。哑标:一个单项式内,在上标(向量指标)和下标(余向量指标)中各出现且仅出现一次的指标。性质:哑标可以把多项式缩写成一项;自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。例:"l“I+力[2兀2+力13"丫3=力2|兀[+力22兀2+力23兀3=^2力3|兀[+力32尤2+力33兀3=(1」)式(1・1)可简单的表示为下式:Aijxj=Bi()其中:Z为自由指标,丿为哑标。特别区分,自由指标在同一项中最多出现一次,表示许多方程写成一个方程;而哑标丿则在同项中可出现两次,表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次,但不得在同项中出现两次。:()务的矩阵形式为:()可知产3山符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时,可把该因子的重指标换成§的另一个指标,而》符号消失。如:SaSik=4恥d=Sn()爲的作用:更换指标、选择求和。,i符号或称置换符号:1, i,j,k为偶排列liJk=^-1,i,j,k为奇排列 ()0, 其余情况-,有3个为1,3个为・1,其余为0。i符号(置换符号)是与任何坐标系都无关的一个符号,它不是张量。,设I口坐标系的基矢为弓,新坐标系的基矢为弓。有错误!未指定书签。G在弓下进行分解:et.=以弓+0皆2+0心匕=0心勺错误!未指定书签。错误!未指定书签。勺在g下进行分解:勺=0品+02*;+03,用;=0离错误!未指定书签。其中,0厂/=cos(G,勺)=G•勺二勺乜错误!未指定书签。为新旧坐标轴间的夹角余弦,称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径:()其中为上图中坐标原点的位移矢量。将厂向新坐标轴错误!未指定书签。投影的矢量的分量:r'^=^rei=xk8ki=xi即G+r)•弓=(“J。ek•弓+xjej-弓=(xk)0%+x屁=(x;)0+ 訂由此得新坐标用老坐标表示的公式:心山也 (間错误味指定书签。类似地,将,向老坐标上投影,可以推导出老坐标用新坐标表示的公式:®=(◎)()+兀禹()错误味指定书签。错误!未指定书签。特别的,当新旧坐标原点重合时,也即坐标轴仅发生旋转,此时(x;)o=O,错误!未指定书签。上两式的矩阵形式为:{<H0]{x}[「訐「仃rn-ir・1(L1°)错误!未指定书签。错误!未指定书签。kM0]叶[0]M=10由上可知,[/?][<=[/]错误!未指定书签。,[0]是正交矩阵,:'=卩汕让=脣()错误味指定书签。5•勺=0/•卩=血0沁=力几e•e・=&、1Jij同理,可推必A;Ay=4将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换,错误!未指定书签。;将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换,厂=兀/(£)心詁九错误沬指定书签。,其中詁错误味指定书签。错误味指定书签。为常数,错误!未指定书签。称丿二dxj为雅克比行列式。若j处处不为0,则说明存在相应的逆变化,即:冷二兽二等错误味指定书签。1・:a=ak:=ayj()其中:eJ=0虫()则:a= =J时()得到:a:=a/?()同理:<=00•勺()得:ai=0沪;()矢量是与一阶基矢相关联的不变量,可表示为一阶基矢的线性组合,此组合与坐标系的选择无关,故为一阶张量,标量为零阶张量。,写在一起,不作任何运算。由下式:()可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为:()错误!未指定书签。记:错误!未指定书签。场=叭错误味指定书签。()错误!未指定书签。()则:该式表示a与b并乘为一个坐标不变量,称为二阶张量。记为:()错误!未指定书签。将式()错误!未指定书签。代入错误!未指定书签。上式可得:()此分量转换可进一步推广到高阶张量。张量与坐标轴选择无关,故可独立于坐标系来表述。、鸟为同阶张量,将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加(减),得到的结果即为它们的和(差),i己为4+0(4-£),例如:4土BfSj ()显然,同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。,标量久,若B-AA,贝I」:Bq— ()2・3张量的并积两个同维不同阶(同阶)张量4、E的并积C是一个阶数为4、鸟阶数之和的高阶张量。4=4孙