文档介绍：一、知识总结
1　张量概念
１。1 指标记法
哑标和自由指标的定义及性质
自由指标:在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质:在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标(向量指标）和下标(余向量指标)中各出现且仅出现一次的指标.
性质:哑标可以把多项式缩写成一项;自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
例：
ﻩﻩ（1。1）
式（1。1)可简单的表示为下式：
（１。２）
其中：i为自由指标,j为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次,表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次,,但不得在同项中出现两次.
１．2 Kroneckｅｒ符号
定义为：
ﻩ（１。3）
的矩阵形式为：
ﻩﻩ（１。４）
可知。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时,可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，:
ﻩﻩ　（)
的作用:更换指标、选择求和。
1。３ Riｃci符号
为了运算的方便,定义Ricci符号或称置换符号:
ﻩﻩ（)
图1．１ i,j，ｋ排列图
的值中，有3个为1，3个为—1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
1。4 坐标转换
图1。２坐标转换
如上图所示，设旧坐标系的基矢为,
在下进行分解:
在下进行分解:
其中，为新旧坐标轴间的夹角余弦,称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径:
ﻩ（）
其中为上图中坐标原点的位移矢量.
将向新坐标轴上投影的矢量的分量:
由此得新坐标用老坐标表示的公式：
ﻩ (1．8）
类似地,将向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式:
ﻩﻩ(1．9）
特别的，当新旧坐标原点重合时,也即坐标轴仅发生旋转,此时，上两式的矩阵形式为:
()
由上可知，，是正交矩阵,则。综合以上可知：
()
同理，可推出:
将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换,;　将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换,
，其中为常数，称为雅克比行列式。若J处处不为0，则说明存在相应的逆变化，即：
　张量的分量坐标转换规律
。１一阶张量
一阶张量在新老坐标系中的分解为:
（)
其中:
（）
则:
（)
得到：
(１。15）
同理：
ﻩ(１。１６)
得：
ﻩ(1．17）
矢量是与一阶基矢相关联的不变量,可表示为一阶基矢的线性组合,此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量,标量为零阶张量。
1。5．2　二阶张量
定义为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：
（1。1８）
可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：
ﻩ (1．19)
又：
ﻩﻩ（1．20)
记：
，（1．21)
则:
（１．２2)
该式表示 a 与 b　并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：
ﻩﻩ()
将式（１。13）代入上式可得：
(1．２4）
此分量转换可进一步推广到高阶张量。
张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。
2 张量的代数运算
2。1 张量的加减
假如A、Ｂ为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差)，记为,例如：
ﻩ(２．1）
显然,同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量.
2。2 标量与张量的积
张量A，标量λ，若，则:
ﻩ（)
张量的并积
两个同维不同阶(同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。
ﻩ ()
ﻩﻩ(2。4）
ﻩ（2。5）
式（）中：
ﻩﻩ（)
2。4 张量的缩并
若对某张量中任意两个基矢量求点积,则张量将缩并为低二阶的新张量。，有。取不同基矢量点积,缩并结果不同。
２．5 张量的点积
两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。如下:
()
ﻩ（)
ﻩﻩ（2。9）
其中，
(）
　指标的转换
对于张量，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如下式所示：
ﻩﻩ（)
指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：
ﻩ （2。１２)
张量的商法则
张量Ｔ,如果它满足对于任意一个q阶张量Ｓ的内积均为一个p阶张量U,即在任意坐标系内以下等式成立,则