张量分析总结.docx

文档介绍：一、知识总结
1 张量概念
指标记法
哑标和自由指标的定义及性质
自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标即：
张量的分量坐标转换规律
一阶张量
一阶张量在新老坐标系中的分解为：
()
其中：
()
则：
()
得到：
()
同理：
()
得：
()
矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。
二阶张量
定义为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：
()
可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：
()
又：
()
记：
， ()
则：
()
该式表示 a 与 b 并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：
()
将式()代入上式可得：
()
此分量转换可进一步推广到高阶张量。
张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。
2 张量的代数运算
张量的加减
假如A、B为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为，例如：
()
显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。
标量与张量的积
张量A，标量λ，若，则：
()
张量的并积
两个同维不同阶（同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。
()
()
()
式()中：
()
张量的缩并
若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。，有。取不同基矢量点积，缩并结果不同。
张量的点积
两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。如下：
()
()
()
其中，
()
指标的转换
对于张量，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如下式所示：
()
指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：
()
张量的商法则
张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量U，即在任意坐标系内以下等式成立，则T必定是一个p+q阶的张量。以上规则称为张量的商法则。
3 二阶张量
二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。
二阶张量的矩阵
(1) 任何一二阶张量T总可以按其分量写成矩阵形式：
()
二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。首先，矩阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中，转置张量与转置矩阵、对称（或反对称）张量与对称（或反对称）矩阵不能一一对应；第三，二阶张量的某些运算不完全能用矩阵的运算与之互相对应。
(2) 二阶张量T的转置张量TT为：
()