文档介绍：中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第1页一、知识总结 1 张量概念 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标:在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同。性质:在表达式或方程中自由指标可以出现多次,但不得在同项内重复出现两次。哑标:一个单项式内,在上标(向量指标)和下标(余向量指标)中各出现且仅出现一次的指标。性质:哑标可以把多项式缩写成一项;自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。例: 3333 232 131 2323 222 121 1313 212 1 11BxAxAxA BxAxAxA BxAxAxA?????????() 式() 可简单的表示为下式: ij ijBxA?() 其中: i为自由指标, j为哑标。特别区分,自由指标在同一项中最多出现一次,表示许多方程写成一个方程;而哑标 j则在同项中可出现两次,表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次,但不得在同项中出现两次。 Kronecker 符号定义 ij?为:??????ji ji ij,0 ,1?() ij?的矩阵形式为: ???????????100 010 001 ij?() 可知3 ij ij ii jj ?? ??? ??。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时,可把该因子的重指标换成δ的另一个指标,而δ符号消失。如: ij jk ik ij jk kl il ?? ???????() 中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第2页 ij?的作用:更换指标、选择求和。 i 符号为了运算的方便,定义 i 符号或称置换符号: ???????其余情况为奇排列为偶排列,0 ,,,1 ,,,1kji kjil ijk () 图 i,j,k 排列图 ijkl 的值中,有 3个为 1, 3个为-1,其余为 0。 i 符号(置换符号)是与任何坐标系都无关的一个符号,它不是张量。 坐标转换图 坐标转换如上图所示,设旧坐标系的基矢为 ie ,新坐标系的基矢为'ie 。有' ' i j i j ij e e e e ?? ?'ie 在 ie 下进行分解: ' '1 1 ' 2 2 '3 3 ' i i i i i j j e e e e e ? ???? ??? je 在'ie 下进行分解: ' ' ' ' 1' 1 2' 2 3' 3 ' j j j j i j i e e e e e ? ???? ???其中, ' ' ' ' cos( , ) i j i j i j j i e e e e e e ?? ????为新旧坐标轴间的夹角余弦,称为坐标转换系数。空间点 P在新老坐标系矢径: ???????????????? 0rrr exr exr jj ii () 中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第3页其中'0r 为上图中坐标原点的位移矢量。将'r 向新坐标轴上投影的矢量的分量: '