文档介绍：§考虑二元函数方程:(1)通常这类函数方程的解不是唯一的,为了使(1)的解是唯一,我们大多给予一些附加条件。例如,要求该函数是“连续的”,或者必须是“在定义域中每一个有限区间内为有界的”,或是“单调”函数…等。解方程式(1)的步骤是:依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值,直至所有实数值,而得到函数方程的解。下面我们在f(x)的不同附加条件下来解函数方程(1)。Example1:设函数在整个实数域上连续,求函数方程式(1)的解?【解】:因为(1)由数学归纳法易知,对任意的实数有尤其当时,(2)取,可得在(1)式中取因此,在(1)式中取,可得在(2)式中取,则可得所以对任意的整数,在(2)式中取,(m,n为正整数),有但在于(1)式中取,则可得所以对任意的有理数r,因为有理数是实数的稠密子集,且为连续函数,所以(3)故(3)是(1)在中唯一的解。Example2:若函数在某一充分小的区间(a,b)内为有界,求(1)的解。【解】:在上例中,我们已证明在给定,。令,则当时,(A)且对任意的实数所以也满足方程式(1)。对任意的实数x,取则。令,则,此即是说,对任意的,存在,使得(*)由假设条件知,在(a,b)内有界,所以由(*)知,g在整个实数上都有界。又由(A)知若存在一个无理数,使得则,矛盾。所以因此,。Example3:设在某个足够小的区间内是单调函数,求(1)的解?【解】:我们利用Example2的结果来证明在单调函数下(1)之解仍为。任取,,使得。因为为单调函数,所以所以内有界;因此由例2可知。§2、几个重要的二元函数方程在本节中所有的均假设是连续的。Example1:设上是连续的且不恒等于0,求出函数方程(1)的解。【解】:由数学归纳法易知尤其,取,则可得(2)在上式中取,可得于(1)式中,取,,(2)式中,取(m为正整数),(1)式中,取,则可得所以,对任意的有理数,。又因有理数是实数的稠密子集,且上连续,,则.(3)Example2:设在正实数域上有定