文档介绍：May 斯托克斯公式1空间曲线积分的向量点积法 May 斯托克斯公式2空间曲线积分的“向量点积法”是斯托克斯公式的一种改进的方法。在计算空间曲线积分时,通常是先利用斯托克斯公式把曲线积分化为曲面积分,再将曲面积分化为二重积分。而“向量点积法”则是直接将曲线积分化为二重积分,减少了中间环节。 May 斯托克斯公式3当: ( , ), ( , )z z x y x y D? ? ?且L是Σ的正向边界曲线,则有以下公式:Σ取上(下)侧时,取正(负)号空间曲线积分的向量点积法rot { , ,1}Dz zdxdyx y? ?? ???? ????Αd??LΑr?rotdS??????????A n斯托克斯公式?Ln?LnD May 斯托克斯公式4证明22 22{ , ,1}rot11x yx yDx yz z dxzdyz zz? ?? ?? ?? ????Α原式d??LΑr?rotdS?? ???A n由斯托克斯公式2 2{ , ,1}1x yx yz zz z? ??? ??n其中单位法向量(教材98页)再利用对面积的曲面积分的计算公式(教材217页)rot { , ,1}x yDzdxdyz? ??????Α?LnD May 斯托克斯公式5Σ取上(下)侧时,取正(负)号1Dz zx ydxdyx y zP Q R? ?? ?? ?? ?? ???????Pdx Qdy Rdz? ??L?以上公式可以写成行列式的形式: May 斯托克斯公式6zxy111O1 1 1xyx y zDdxdyz x y? ??? ?????例1 计算积分d d dz x x y y z?? ??其中?为平面x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整解: 记三角形域为?, 取上侧个边界, 方向如图所示. d d dz x x y y z?? ??yxD1 1, 1z zz x yx y? ?? ???????? ?由前面的公式(1 1 1)xyDdxdy? ????33 =2xy?? ?3xyDdxdy???1(2xy xyD??是的面积) May 2012四川