文档介绍：2,利用柯西不等式证明不等式柯西(Cauchy)不等式:设和是给定的实数,则。等号成立的充要条件是:存在(不全为零),使i=1,2,···n证明:(3)柯西不等式的几个推论①若,则,当且仅当时取等号。特别地,②,当且仅当时等号成立③若,则,当且仅当时等号成立④若,则,当且仅当时例1:若都是正数,证明:证明:由故有不等式成立例2:设为正实数,证明:证明:,故有例3:是个不同的自然数,求证:证明:∵∴说明:本题通过变形积极创造了柯西不等式中“积和”与“平方和”的形式。例4:已知且,求证:证明:∵=∴原不等式由柯西不等式有:∴又由柯西不等式有:∴故原不等式成立。说明:本题是一道利用柯西不等式对连续自然数倒数和估值的典型例题。本题有一定的难度,第一步代数变形是基本功,将式子化为若干项之和,、三步对柯西不等式的两种不同的运用堪称范例,值得回味。例5:已知为正实数,且,,,可得,,,,,:已知且,求证:证明:记,,则由柯西不等式知:所以:所以,说明:本题配上的对偶式,由于和满足,,即可完成结论的证明。例7:设,求证:证明:当,由柯西不等式有,令则又2于是有8故不等式左边说明:本题可推广为:设且,则当且仅当时取等号。例8:如果x、y、z≥1,且++=2,证明:≥++.(1998年伊朗数学奥林匹克试题)证明注意到++=2,由柯西不等式得≥++,而++=3-(++)=1,,y,z是大于-1的实数,求证分析本题是证明分式不等式,可以尝试用柯西不等式去分母。证由已知,均为正实数,由柯西不等式得即注:⑴本题利用了柯西不等式来处理分式不等式,⑵本题的证明还用到了配方法,配方法是证明多项式恒大于等于0的一种常用方法。例10:设,求证:证明注意到函数在上是增函数,当时,故只需证明:,..从而,欲证不等式成立。11:::对任意正整数N,不等式成立,其中是的算术平均值,即证明由,有()..两边分别求和,得因此,由cauchy不等式,得例12:已知a,b,c是正数,且++=2,求证:ab+bc+ca≤.(2005年伊朗数学奥林匹克试题)证明由++=2,得++=1,由柯西不等式得[(a2+1)+(b2+1)+(c2+1)]·(++)≥(a+b+c)+b2+c2+3≥(a+b+c)2,即ab+bc+ca≤.练习题1:设都是正数,求证(84年联赛试题)证明:由柯西不等式得:即有2:设,且,试证:证明:,即得证例12:设是的任意一个排列,求证:(首届女子数学奥林匹克竞赛试题)证明:根据柯西不等式:则3:设且,则(第26届IMO)证明:4:设,,求证:证明:由柯西不等式有:所以本题利用柯西不等并结合均值不等式对进行放缩,证得结论。,求证:证明欲证式由柯西不等式,①②由①②,用柯西不等式来证的较多,要适当选择和,便于运用柯西不等式6.(2003中国数学奥林匹克----6)设为正数,满足,点(i=1、2、3、4),是以原点为圆心的单位圆周上的四点,求证:证明:由Cauchy不等式知(1)但是