文档介绍：2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案
选择题(5×7'=35')
对正整数n,记n!=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( ).
【分析】时,!的个位数均为0,只考虑前4个数的个位数之和即可,1+2+6+4=13,故式子的个位数是3. 本题选C.
已知关于x的不等式组恰好有5个整数解,则t的取值范围是( ).
【分析】,则5个整数解是.
注意到时,,本题选C
已知关于x的方程恰好有一个实根,则实数a的值有( )个.
【分析】,下面先考虑增根:
ⅰ)令,则,当时,(舍);
ⅱ)令,则,当时,(舍);
再考虑等根:
ⅲ)对,,当.
故,.
如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC=4CF,DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( ).
【分析】设底边上的高为,则,
本题选D.
在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是( ).
【分析】本题选B.
(5×7'=35')
设,b是a2的小数部分,则的值为.
【分析】考虑到,则
则
一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、,则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是.
【分析】对第一次向上面为1时,后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111,114,123,126,132,135,141,144,153,156,162,165共12种;对于首次掷得向上的面是2,3,4,5,6的,后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的,故和为3的倍数共有,而总次数是次,则其概率为.
已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,则abc的最大值为.
【分析】先消去c,再配方估算.
观察易知上式中,故,经试算,时,均不是整数;当时,,于是有,故.
实数a、b、c、d满足:一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b,一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d,则所有满足条件的数组(a、b、c、d)为.
【分析】由根与系数关系知,然后可得
(a、b、c、d)=(1,-2,1,-2)
本题在化简过程中,总感觉还有,此处仅给出一组,好像不严谨,期待官方答案.
小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,园珠笔每支售7元,开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元,则他至少卖出了支圆珠笔.
【分析】设4元的卖x支,7元的卖y支,则
令,则,又,即,
即他至少卖了207支圆珠笔.
(4×20'=80')
,抛物线y=ax2+bx-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=,求∠DBC-∠CBE.
【分析】易知,,作EF⊥CO于F,连CE,易知△OBC、△CEF都是等腰直角三角形,则
△△OBD、Rt△BCE中运用正切定义,即有,