文档介绍：- 1 - 第1章 绪 论 。与传统的解析方法相比,有限元法具有理论完善,物理意义直观明确,解题效率高等优点。随着电子计算机的发展和应用,有限元法已经成为解决许多科学和工程实际问题的有效的工具。有限元法最早的概念可以追溯到1943年,数学家Courant应用定义在三角形区域上的分片连续函数,与最小势能原理相结合,来求解St. Venant扭转问题。1955年,Argyris和Kelsey利用最小势能原理,得到了系统的刚度方程,推广杆系结构矩阵分析法,对连续结构进行了分析。1956年,波音公司Turner, Clough, Martin和Topp等人在分析大型飞机结构时,第一次给出采用直接刚度法推导出的三角形单元,将结构力学中的位移法推广到平面应力问题。Clough于1960年在一篇论文中首次使用“Finite Element”(有限元或有限单元)这一名称。1963年,Besseling等人证明了有限元法是基于变分原理的Ritz法的另一种形式。1969年,Oden将有限元法推广应用于加权残量法(如Galerkin法)。同年,Zienkiewicz提出了等参元的概念,从而使有限元法更加普及与完善。1970年代以后,随着电子计算机硬件和软件技术的发展,有限元法的研究和应用得到了飞速地进展。出现了一些大型结构分析软件,同时,有限元法应用的领域不断扩大。从弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题,从静力平衡问题扩展到动力响应问题和结构稳定问题,从固体力学扩展到流体力学和传热学等学科,从弹性材料扩展到弹塑性、塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等,从航空领域扩展到宇航、土木建筑、机械制造、水利工程、造船与核工程等领域。 弹性力学的基本概念有限元法是在求解弹性力学平面问题时显露其有效性的。这是由于弹性体的变形能和外力势可以表示为形式划一的二次泛函。为了浅显地介绍有限元法,这里我们简要地介绍弹性力学的基本概念。 三维问题 应力与平衡方程弹性体在外力或者温度发生变化等条件作用下,内部各部分之间将产生内力。内力的大小通常用应力来表示,单位面积上所受到的内力就称为应力。在弹性体内的一点P附近作一平行微元六面体,其棱边平行于各坐标轴。微元六面体中有三个面的外法线方向分别与x轴、y轴和z轴同向,其余三个则与坐标轴反向。作用在- 2 - 垂直于x轴平面上的应力分量为??,???,???,作用在垂直于y轴平面上的应力分量为??,???,???,作用在垂直于z轴平面上的应力分量为??,???,???,。这9个应力分量构成一个张量,称为应力张量。,应力分量??表示垂直于x轴的坐标面上的正应力(受拉取正,受压为负);而应力分量???,???则表示垂直于x轴的坐标面上的切应力(使扭转角变为锐角的为正)。由微元六面体力矩的平衡可得切应力互等定律,即?????????, ???, ?, ?; ?????1?1?因此,应力张量是对称的,其分量只有六个是独立的。在有限元法中,通常把六个应力分量排成下列次序的列向量??????? ?? ?? ??? ??? ??????1?2?经过点P作一任意的斜面(),其法线N的方向余弦为(l, m, n),利用与三坐标面围成的四面体的平衡条件,可以得到作用于该斜面的应力????的三个分量?????????????????????????????????????????????????1?3? 微元六面体上的应力ABCP- 3 - 作用于该斜面上的正应力为 ???????????????????????????????2??????2??????2????? ?1?4?而切应力大小为????????????????????1?5?如果斜面上切应力???0,则该斜面称作P点的应力主面,相应的法线称作P点的应力主轴,而其正应力称作P点的主应力。可以证明,在弹性体内任意一点,一定存在三个互相正交的主应力,其中最大(小)的一个就是该点的极大(小)正应力。三个正应力之和???????????1?6?称为体积应力,它在坐标变换下是个不变量,因而等于三个主应力之和。设作用于P点的体积力为????????,对微元六面体进行平衡分析,可以得到力的平衡方程为??????????????????????0??????????????????????0??????????????????????0?1?