文档介绍：1 考研数学概率论辅导讲义主讲: 马超 2 第二章随机变量及其分布第一节基本概念 1 、概念网络图???????????????????????)()( )()( aFbF APbXa AX 随机事件随机变量基本事件?????)()(xXPxF分布函数: 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布????????????????????????????????????????????????????????????10 3 2 、重要公式和结论(1 )离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X 的可能取值为 X k (k=1,2, …) 且取各个值的概率, 即事件(X=X k) 的概率为 P(X=x k )=p k, k=1,2, …, 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出: ????,,,, ,,,,|)( 21 21k kkppp xxxxXP X?。显然分布律应满足下列条件: (1)0? kp ,?,2,1?k ,(2)???? 11 k kp 。(2 )连续型随机变量的分布密度设)(xF 是随机变量 X 的分布函数,若存在非负函数)(xf ,对任意实数 x ,有???? x dxxfxF)()( , 则称 X 为连续型随机变量。)(xf 称为 X 的概率密度函数或密度函数, 简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质: 1°0)(?xf 。 2°??????1)( dxxf 。(3 )离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(??????积分元 dxxf)( 在连续型随机变量理论中所起的作用与 kkpxXP??)( 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 4 (4 )分布函数设X 为随机变量, x 是任意实数,则函数)()(xXPxF??称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP????可以得到 X 落入区间],(ba 的概率。分布函数)(xF 表示随机变量落入区间( –∞,x] 内的概率。分布函数具有如下性质: 1°,1)(0??xF ??????x ; 2°)(xF 是单调不减的函数,即 21xx?时,有?)( 1xF)( 2xF ; 3°0)( lim )(???????xFF x ,1)( lim )(???????xFF x ; 4°)()0(xFxF??,即)(xF 是右连续的; 5°)0()()(????xFxFxXP 。对于离散型随机变量, ??? xx kpxF)( ; 对于连续型随机变量, ???? xdxxfxF)()( 。(5 )八大分布 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布在n 重贝努里试验中,设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量,设为 X ,则 X 可能取值为 n,,2,1,0?。 knkkn nqpCkPkXP ????)()( , 其中 nkppq,,2,1,0,10,1??????, 则称随机变量 X 服从参数为 n ,p 的二项分布。记为),(~pnBX 。当1?n 时, kkqpkXP ??? 1)( ,?k ,这就是( 0-1 )分布,所以( 0-1 )分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量 X 的分布律为?????ek kXP k! )( ,0??,? 2,1,0?k , 则称随机变量 X 服从参数为?的泊松分布,记为)(~??X 或者 P(?)。泊松分布为二项分布的极限分布( np= λ,n →∞)。超几何分布), min( ,2,1,0,)(nMl kXP nN knMN kM????????随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M) 。几何分布?,3,2,1,)( 1????kpqkXP k ,其中 p≥0, q=1-p 。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p) 。 5 均匀分布设随机变量 X 的值只落在[a, b]内, 其密度函数)(xf 在[a, b] 上为常数 ab? 1 ,即???????,0 , 1)(ab xf 其他, 则称随机变量 X 在[a, b] 上服从均匀分布,记为 X~ U(a , b)。分布函数为????? x dxxfxF)()( 当a≤x 1 <x 2≤b 时, X 落在区间( 21,xx )内的概率为 ab xxxXxP????? 1221)( 。指数分布其中0??,则称随机变量 X 服从参数为?的指数分布。 X 的分布函数为记住积分公式: ! 0ndxex xn??????)(xf?)(xF 0, x<a ,,ab ax?? a≤x≤b1, x>b 。 a≤x≤b, xe ???0?x