文档介绍：九年级数学(上)第四章: 对圆的进一步认识
-垂径定理
圆的对称性
圆是轴对称图形吗?
想一想
1
驶向胜利的彼岸
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
●O
你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗?
如果是,它的对称中心是什么?你能找到多少条对称轴?
你又是用什么方法解决这个问题的?
圆的对称性
圆是轴对称图形.
想一想
2
驶向胜利的彼岸
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个问题.
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).
读一读
3
驶向胜利的彼岸
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
●O
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
AB
⌒
以A,,读作“弧AB”.
AB
⌒
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).
⌒
AmB
大于半圆的弧叫做优弧,如记作
(用三个字母).
A
B
C
⌒
m
D
③AM=BM,
垂径定理
AB是⊙O的一条弦.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
做一做
4
驶向胜利的彼岸
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
●O
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
小明发现图中有:
A
B
C
D
M└
由① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
做一做
5
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
垂径定理三种语言
定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想
6
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
②CD⊥AB,
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
做一做
7
驶向胜利的彼岸
过点M作直径CD.
●O
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
小明发现图中有:
C
D
由① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
┗
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
你可以写出相应的命题吗?
相信自己是最棒的!
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
想一想
8
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●O
A
B
C
D
M└
垂径定理及逆定理
想一想
9
条件
结论
命题
①②
③④⑤
①③
②④⑤
①④
②③⑤
①⑤
②③④
②③
①④⑤
②④
①③⑤
②⑤
①③④
③④
①②⑤
③⑤
①②④
④⑤
①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.