文档介绍：2011中考数学一轮复习要点精练--综合题
Ⅰ、综合问题精讲:
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型,近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现,其解题关键点是借助几何直观解题,运用方程、函数的思想解题,灵活运用数形结合,由形导数,以数促形,综合运用代数几何知识解题.
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】(温州,12分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,A是的中点,AE⊥AC于A,与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E,且,EM切⊙O于M。
⑴△ADC∽△EBA;⑵ AC2=BC·CE;
⑶如果AB=2,EM=3,求cot∠CAD的值。
解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠CDA=∠ABE,
∵,∴∠DCA=∠BAE,
∴△CAD∽△AEB
⑵过A作AH⊥BC于H(如图)
∵A是中点,∴HC=HB=BC,
∵∠CAE=900,∴AC2=CH·CE=BC·CE
⑶∵A是中点,AB=2,∴AC=AB=2,
∵EM是⊙O的切线,∴EB·EC=EM2 ①
∵AC2=BC·CE,BC·CE=8 ②
①+②得:EC(EB+BC)=17,∴EC2=17
∵EC2=AC2+AE2,∴AE=
∵△CAD∽△ABE,∴∠CAD=∠AEC,
∴cot∠CAD=cot∠AEC=
点拨:此题的关键是树立转化思想,,将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.
【例2】(自贡)如图 2-5-2所示,已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角
△ABC,∠BAC=90○。过C作CD⊥x轴,D为垂足.
(1)求点 A、B的坐标和AD的长;
(2)求过B、A、C三点的抛物线的解析式。
解:(1)在y=2x+2中
分别令x=0,y=0.
得 A(l,0),B(0,2).
易得△ACD≌△BAO,所以 AD=OB=2.
(2)因为A(1,0),B(0,2),且由(1),得C(3,l).
设过过B、A、C三点的抛物线为
所以
所以
点拨:此题的关键是证明△ACD≌△BAO.
【例3】(重庆,10分)如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.
(1) 求直线AB的解析式;(2) 当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
(3) 当t为何值时,△APQ的面积为个平方单位?
解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b
由题意,得解得
所以,直线AB的解析式为y=-x+6.
(2)由AO=6, BO=8 得AB=10
所以AP=t ,AQ=10-2t
1° 当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB.
所以= 解得 t=(秒)
2° 当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB.
所以= 解得 t=(秒)
(3)过点Q作QE垂直AO于点E.
在Rt△AOB中,Sin∠BAO==
在Rt△AEQ中,QE=AQ·Sin∠BAO=(10-2t)·=8 -t所以,S△APQ=AP·QE=t·(8-t)
=-+4t= 解得t=2(秒)或t=3(秒).
(注:过点P作PE垂直AB于点E也可,并相应给分)
点拨:此题的关键是随着动点P的运动,△APQ的形状也在发生着变化,所以应分情况:①∠APQ=∠AOB=90○②∠APQ=∠,(3)问也可以过P作 PE⊥AB.
【例4】(南充,10分)如图2-5-7,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,对角线AC上有一个动点P(不包括点A和点C).设AP=x,四边形PBCD的面积为y.
(1)写出y与x的函数关系,并确定自变量x的范围.
(2)有人提出一个判断:“关于动点P,⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确,并说明理由.
解:(1)过动点P作PE⊥BC于点E.
在Rt⊿ABC中,AC=10, PC=AC-AP=10-x.
∵ PE⊥BC,AB⊥BC,∴⊿PEC∽⊿ABC.
故,即
∴⊿PBC面积=
又⊿PCD面积=⊿PBC面积=
即 y,x的取值范围是0<x<10.
(2)这个判断是正确的.
理由: 由(1)可得,⊿PAD面积=
⊿PBC面积与⊿PAD面积之和=24.
点拨:由矩形的两边长6,,这样PC=10-x,而面积y是一个不规则的四边形,所以可以把它看成规则的两个三角形:△PBC、△