文档介绍：第八讲:19世纪的代数
19世纪的代数称之“代数学的新生“。
1、代数方程根式解
高斯(德,1777-1855年),11岁发现了二项式定理,1795年进入哥廷根大学学习,1796年发现了正17边形的尺规作图法,1799年证明了代数基本定理。
高斯,“数学王子”,18-19世纪之交的中坚人物,欧拉以后最重要的数学家,数学研究几乎遍及所有领域,发表论文155篇。
1770年拉格朗日(法,1736-1813年)发表《关于代数方程解的思考》,认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。1799年鲁菲尼(意,1765-1822年)明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。
1824年阿贝尔(挪,1802-1829年)出版《论代数方程,证明一般五次方程的不可解性》,证明了阿贝尔定理。
阿贝尔简介及数学奖:阿贝尔奖(2003-)。
1829-1831年,伽罗瓦(法,1811-1832年)建立了判别方程根式解的充分必要条件,宣告了方程根式解难题的彻底解决。
伽罗瓦简介。
伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端,现代数学酝酿的标志之一。
2、数系扩张
1873年埃尔米特(法,1822-1901年)和1882年林德曼(德,1852-1939年)分别证明了e和π是超越数。虚数(即复数)的出现,承认与反承认一直在欧洲徘徊。19世纪复数在数学中起着举足轻重的作用。1811年高斯(德,1777-1855年)讨论了复数几何表示。
对复数推广的重要贡献是哈密顿(爱尔兰,1805-1865年),1843年定义了四元数。
哈密顿简介。
1844年格拉斯曼(德,1809-1877年)在《线性扩张性》引进了n个分量的超复数,1847年凯莱(英,1821-1895年)定义了八元数。
3、行列式与矩阵
关于线性方程组解的发展,形成了行列式和矩阵的理论。
1683年关孝和(日,1642-1708年)完成《解伏题之法》,提出行列式理论和代数方程变换理论,尤其在行列式方面的研究是世界领先的。
1750年克莱姆(瑞士,1704-1752年)法则,1772年范德蒙(法,1735-1796年)、拉普拉斯(法,1749-1827年)行列式展开定理。
1841年凯莱(英,1821-1895年)行列式记号,1852年西尔维斯特(英,1814-1897年)惯性定理,1854年埃尔米特(法,1822-1901年)使用了正交矩阵,1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿定理,1870年若尔当(法,1838-1921年)建立了若尔当标准形,1879年弗罗贝尼斯(德,1849-1917年)引入矩阵的秩。
4、布尔代数
来源于对数学和逻辑基础的探讨。
德•摩根(英,1806-1871年),1847年《形式逻辑》,突破古典的主谓词逻辑的局限,影响到数理逻辑的发展。
布尔(英,1815-1864年),1847年《逻辑的数学分析,论演绎推理的演算法》和1854年《思维规律的研究,作为逻辑与概率的数学理论的基础》为数理逻辑的发展铺平了道