文档介绍：2009 考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话:62701055\82378805
教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。
− xx 3
(1)函数 xf )( = 的可去间断点的个数,则( )
sinπx
(A)1 (B)2 (C) 3 (D) 无穷多个
【解析与点评】考点:简单极限运算与间断点的分类。水木艾迪辅导的星级考点。参见水
木艾迪考研数学 36 计例 1-1,1-2,1-3 等题目。【答案】C
− xx 3
xf )( = 则当 x 取整数时,xf )( 无定义。
sinπx
3
xf )( 的间断点有无穷多个,应是xx =− 0 的解 x 3,2,1 = +1,0 ,可去间断点为 3 个,
− xx 3 − 31 x 2 1 − xx 3 − 31 x 2 2
即+1,0 。 lim = lim = , lim = lim = ,
→ox sin x x→0 cos x ππππ x→1 sin x x→1 cos x ππππ
− xx 3 − 31 x 2 2
lim = lim = 。
x −→ 1 sin x x −→ 1 cos x ππππ
(2)当x → 0 时, −= sin)( axxxf 与 2 −= bxxxg )1ln()( 是等价无穷小,则( )
1 1 1 1
(A) ,1 ba −== (B) ,1 ba == (C) ,1 ba −=−= (D) ,1 ba =−=
6 6 6 6
【解析与点评】考点:无穷小量比阶的概念与极限运算法则,此为水木艾迪强调的星级考
点。参见木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》例 ,强化班教材
《大学数学强化 299》16、17 等例题。【答案】A
− sin axx − sin axx − cos1 axa
lim = lim = lim
x→0 2 − bxx )1ln( x→0 2 −⋅ bxx )( x→0 − 3bx 2
2 sin axa 2 sin axa a3
= lim = lim =−= 1
x→0 x→0 6b
− 6bx ⋅− ax 6b
a
− cos1 axa
3 −= 6ba 意味选项,CB 错误。再由 lim = 存在,应有
x→0 − 3bx 2
− xaxa →→)0(0cos1 ,故 a =1,D 错误,所以选 A。
(3)函数= yxfz ),( 的全微分为= + ydyxdxdz ,则点(0,0)( )
(A)不是yxf ),( 的连续点(B)不是yxf ),( 的极值点
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2009 考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话:62701055\82378805
教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民
(C)是yxf ),( 的极大值点(D)是yxf ),( 的极小值点
1
【解析与点评】(方法 1) +=+= yxdydyxdxdz 22 )( ,
2
1
+= yxz 22 )( ,有最小值 0,立即有结果 D。这是水木艾迪一再强调的凑微分方法。
2
∂z ∂z
(方法 2)由+= ydyxdxdz 可得= x, = y
∂x ∂y
∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z
A = ,1 B == = ,0 C == = 1
∂x 2 ∂∂ yx ∂∂ xy ∂y 2
∂z ∂z
在(0,0)处, = = 0,0 , BAC 2 >=− 01 ,故(0,0)为函数= yxfz ),( 的一
∂x ∂y
个极小值点。【答案】D
22 42 − y
(4)设函数yxf ),( 连续,则 1 ∫∫ x ),( 1 ∫∫+ y ),( dxyxfdydyyxfdx = ( )
2 4−x 42 −x
(A) 1 ∫∫ 1 ),( dyyxfdx (B) 1 ∫∫ x ),( dyyxfdx
2 4− y 22
(C) 1 ∫∫ 1 ),( dyyxfdy (D) 1 ∫∫ y ),( dxyxfdy
22 22
【解析】 1 ∫∫ x ),( 1 ∫∫+ x ),( dxyxfdydyyxfdx