文档介绍：《近世代数》学习指导纲要
根据网上授课教师所讲的内容(教材第一至第三章)结合本学科的教学要求,特编制本《纲要》,以利于复习。考试范围:教材第一至第三章(除§、§)正文中概念及命题的证明,课后不带* 的习题。学习时,为克服概念抽象的困难,应多举例,从具体实例中去体会概念。一、第一章《基本概念》的主要内容及学习要求:
(一)、集合与映射
1. 集合、元素、子集、空集、集合的交与并、余集、补集和笛卡尔积集等概念.
集合的两种表示方法:列举全部元素表示集合,以及用元素所具有的性质表示集合.
要求熟悉集合的各种运算,特别是笛卡尔积。会验证集合的相等关系。
2. 映射、单射、满射、一一映射、逆映射、映射合成、,映射,变换、特别是置换的一些性质以及置换的表示记号.
要求会进行是否为映射、单射、满射的验证及映射的相等关系的验证。
(二)、代数体系
、表示法(有限集上的运算可用运算表)
二元运算

把集合与其上所带的运算视为一个整体即为一个代数体系
如:(R,+)、(R,*)(R,+ ,*)等等。
———运算律:结合律、交换律、分配律
要求了解代数运算的广泛性,代数体系的多样性。
熟练运用几种常见的运算律:结合律、交换律、分配律。
弄清它们的作用(各节相应的定理)及应用
(三)、代数体系的比较———同态、同构
1. 同态映射、代数体系间同态的概念,
同态的简单性质,如:保结合、交换、分配律等
2. 同构、自同构映射、代数体系间同构的概念,
代数体系的代数性质———同构映射下保持不变的性质,
代数学研究的目标,正是发掘这种性质。
要求掌握并运用同态同构、同构映射、自同构映射的概念,
这里建立映射(一一映射)不是唯一的目标,还要求它能“保持运算关系不变”
体会同构、同态在代数学中的重要意义,抓住事物的本质
(四)等价关系、集合的分类、商集
关系、满足某些附加条件(如:反身性、对称性、传递性)的关系、
等价关系、集合的分类等概念
等价关系与集合的分类之间的联系
商集(有时称之为剩余类集)的概念———作了集合的一个分类后,以类为元素构成的集
理解基本概念,结合实例(如:整数集上的同余分类)弄清等价关系与集合的分类之间的联系二、第二章《群论》的主要内容及学习要求:本章讨论最简单的、只带有一种代数运算的且满足某些条件的完整的代数体系———群
对本章的学习可使学员初步掌握有关群的基础知识和研究近世代数最基本的方法。
(一)群的定义及性质
1. 几个性质
Ⅰ(封闭性) 有
Ⅱ(结合律) 有
Ⅲ(解的存在性) 方程在G中有解
Ⅳ(Ⅳ')(左(右)单位元的存在性) 对
有( )
Ⅴ(Ⅴ') (左(右)逆元的存在性) 为一固定的左(右)单位元,
则对、 .
( )
Ⅲ' (消去律) 若则
若则
另还有性质:
左、右单位元的一致性
单位元的唯一性
左、右逆元的一致性
逆元的唯一性
解的唯一性
2. 群的几个定义:
第一定义:可简记为
第二定义:可简记为(较常用)
第二’定义:可简记为
有限群的定义:可简记为(较常用)