文档介绍：第 12 讲
§9 子群的陪集(Coset of subgroup)
本讲的教学目的和要求:在第一章中,我们曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系——他们是互相兼容的两个代数概念。在群中引人一种特殊等价关系,由此对该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格朗日(Lagrange)定理,得到了“每个子集(元素)的阶都是有限母群阶的因子”这一重要结论。在本讲的学习中要求
1、陪集的形成以及它们与母群的关系与子群的联系要分辩清楚。
2、陪集和陪集的代表元所形成的系列性质,要能掌握。
3、群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项需要了解。
4、Lagrange定理和推论本身的掌握以及有关理论应用需要掌握。
本讲的重点和难点: 本节的内容中重点是对陪集概念的了解和lagrange定理的应用,而难点在于学会并掌握有关陪集理论的等式命题证明。
一、陪集的引入
引例1 对整数加群而言,取定模4,则可确定的一个分类:。其中中的4个剩余类分别为:
现利用群的观点,分析上述事实,可得到如下启示:
在中剩余类是整数加群的一个子集. 而其余的剩余类,,都不是的子群.
, 就是用代表元1与中每个元素相加所成的剩余类, , 中的每个剩余类都是由中每个元素普遍加上(或加上中任取定的一个元素).
引例2. 给定三次对称群
: , ,
。同上例一样可以发现:
(1) 分类中只有是的子群,而都不是的子群。
(2) 恰是由(13)右乘中每个元素而形成的类:
,
(或者说是由(123)右乘中每个元素而形成的类).同理,是由(23)(或(132))右乘中每个元素形成的类.
总之, 中每个类,都是由本类中任取定一元素右乘中每个元素而得到的.
上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但它们的分类都有一个共同的特点:
分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都不是子群.
每个类正好是这个子群中的所有元素都加(乘)上这个类中任取定的一个元素.
具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内容.(在下面
的讨论中,都是在乘群上展开的).
定义1. (集合的积) 设和是群的二个非空子集,于是与的积记为
特别地,如果是一个单元集,而设,那么与的积为
.此时我们记为,并称为元素右乘的积.
定义2. (子群的陪集) 设为任意的群,而,
那么
形如的子集,叫做子群的一个右陪集,其中叫做代表元.
形如的子叫做子群的一个左陪集,其中叫做代表元.
由此可见,子群的陪集正是与元素相乘的积,当从右方去乘时,则得到右陪集. 反之得到左陪集.(下面只对右陪集展开讨论).
明示1. 在引例2中,自然有,
. 所以有的分类
.
思考题1 若,又设,那么“”成立吗?为什么?
答:由于不一定是变换群,所以未必成立.
比如,在引例2中,,而
,.
二、陪集的性质.
二个右陪集相等是什么意思?在什么条件下才会发生呢?
明示2. 设,令, 若取,那么有陪集
.
如果“”,那么代表着二个集合相等而千万不能记为
“”,
明示3. 设都是群的非空子集(不一定是子群)
如果,则取任意,必有.
定理1. 设, ,于是有
(1)
(2) .
证明: (只需证明(1),因为(2可同理证得))
(ⅰ)
, 由陪集的含义可知,必存在使,即
使
.
使
同理
由上分析知,.
(ⅱ) .
,
当任取时使,经调整得,,即.
(ⅲ)
, 则存在使,于是
即.
由上述(ⅰ)(ⅱ)和(ⅲ)知(1)成立.
明示4. 利用定理1和明示3可知下列命题必是等价的:
明示5. 利用定理1知, 每个陪集中任一个元素都可以“担任”该陪集的代表元,进而知,每个陪集一般其表示形式是不唯一的.
定理2. 设,设,那么
(1) .
(2) 对于陪集和而言,只有二种关系:
或
(3) .
证明:
(1)
(2) 如果,由定理1
, .
(3) 每个陪集都是的子集这些陪集的并也是的子集, .别外, 由(1).
但是的陪集,即, .由的任意性
, 所以.
可以利用引例2对定理2作进一步的解释:
设,其中用中全部个元素做代表元,则变得
个陪集:
.
首先,从上全部陪集中看到:每个陪集的代表元都含在该陪集内.
其次,上列中任二个陪集要么相等,要么不相交.
最后,将上列不重复的全部陪集并起来后恰好等于.
注意:似乎表明全部陪集的并,然而由集合论的知识知道,只