文档介绍：第 10 讲
§7 循环群(Cyclic groups)
本讲的教学目的和要求:研究一个对象可粗略地分为两种方法:一种方法是研究此对象的内部关系,另一种是把此对象放在其它对象的相互联系中去研究。当我们对一个群“孤立地”去研究时,掌握这个群的一个好的生成元(生成元集)常是非常有帮助的,循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。循环群是所有群中最简单的一种群。它的结构可以完全刻划清楚的。本讲中,要求我们了解这类群的特点,从本质上领会“循环群已经完全弄清楚了”的含义。并且要求
1、循环群的阶与生成元的阶的关系.
2、两类循环群的本质区别和它们各自的同构象.
3、循环群中元素之间的联系和性质。
本讲的重点和难点:循环群的结构定理是本讲中的重点。而难点是循环群的生成元个数(谁有资格作为生成元)和循环群的子群的性质(这个问题将放到下一讲中去讨论)和子群的生成元问题。
本讲的教法及教具:仍利用投影仪和展示台进行课堂教学。
本讲的思考题:蕴含在教学活动中。
循环群的概念
例1 整数加群中,每个元素都是的倍数(因为此群是加法运算,所以用“倍数”这个词)事实上,
是的零倍:;正数是的的倍:,负数是的倍:.
例2 模剩余类加群. 中的运算是“钟表加法”,易知中每个元素都是的倍数:
上述两例都表明了同一个问题:群中有一个特殊的元素,使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数. (因为是加法群,所以用倍数. 如果是乘法群,则应是方幂)。于是,前面有了循环群的定义(下面通常用乘法群为例).
定义1 设是一个(乘法)群,而中有一个元素,使中每个元素都的乘方. 即为. 也就是说,是由生成元生成的.
注意:由定义1可知,例1和例2都是循环群,并且按习惯化为和。其中,和分别是和的生成元.
二、循环群的结构定理.(以乘法群为讨论对象)
设是一个群,而是的生成元. 那么我们有一个重要的结论:的阶与的阶一致,即. 事实上,
(1)当的阶是无限时,这说明任一个整数(除了)都不会有. 于是我们有
结论1:当时,,设,而恰有,
不妨设. 那么,这说明与矛盾。所以只要.
(2) 当的阶是有限时,乘方“”就有可能无限“泛滥”,由钟表记算法知,“”就只能编小在一定范围内,我们有:
结论2:当时,,其中:.首先,若时,.其实若而,:是两两不等的.
其次,都是中某个元素:事实上,如果,自然在之中.
如果由常余除法知.
.
如果,由常余除法同理在之中.
综合上述讨论,我们有下列结论:
结论3 设循环群. 那么
是无限循环群.
是阶循环群.
我们仔细观察下面两对群,它们元素之间存在着对应关系:
以及
循环群的结构定理:设是由生成元生成的循环群,
如果,那么.
如果,那么.
【证明】:(1)当时,,
(2)当时,作,
由上述对应关系也易知,是双射. 而且
. 即.
注意:用代数同构观点,循环群只有二个。一个是整数加群,另一个是模的剩余类加群.
三、循环群的生成元
情形1. 当时,自然是的生成元,但除了外,其实也是的生成元. 因为

除此之外,还有其它生成元吗?如果也是一个生成元,于是必有. 这表明:无限循