文档介绍：第 11 讲
§8 子群 (Subgroups)
本讲教学目的和要求:对于群这个新的教对象,应该如何入手,从哪几个方面去研究它,这一直是我们所关心的问题。概括些说,对群的研究,可分为互相联系的两个方面:群的结构和群的表示。与集合比较,群就是多了一个运送(正是这个运算才给群带来了生命力),所以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论,只是关系群的一切讨论都要围绕这个运送展开,子群是非常重要的概念,了解子群是了解群的结构的一个重要渠道,本讲中要求:
1、能判断子群的构成和掌握彼此等价的判断条件
2、有限群的判断定理
3、子群(集)的乘积和生成子群的概念
4、循环群的子群所具有的特性
本讲的重点和难点:为了更好的学习下一讲内容,本讲中增添了部分内容(也都是群论中最基本的内容)。循环群的子群的性质;子群之积的性质,…都是本讲中的要点和难点,通过这方面的训练可使我们对子群有一个更深入的了解。生成子群的概念在本教材中谈的很少,本讲中也作了适当地加强。结合高等代数中生成子空间的理论,会使我们有一种温故而知新的感觉。此外,本讲中还引入了中心,中心化子,正规化子等概念,以便拓宽知识量。
子群的定义及判定条件
定义1、设是一个群,而,如果关于中的运算本身也能作成群,则称是的一个子群记为
例1 设为任意一个群,那么由的单位元组成子集,自然有,另外本身也有,所以一般有两个子群,统称它们为的平凡子群。如果除了平凡子群外还有其他子群,那就称为的真子群,记为。
是整数加群,而一切偶数构成的集合为,其中:,那么关于整数的加法有
明示1:任取一个整数,那么为一切的倍数构成的集合,可知.
设表示一切可逆阶方阵组成的集合,用矩阵通常的乘法可知:
中方阵对乘法封闭(任二个阶可逆阵之积仍可逆)
中方阵满足乘法结合律
单位元为
的逆元为的逆阵
所以是个群。
若令为中的阶数乘阵,那么是的非空子集,且必有。
设为三次对称群,令
和三次交错群。易知.
设模剩余类加群。令,可知,可知
子群的性质:设,那么
性质1:若中的单位元为,中的单位元为,那么.
证明:
这说明子群中的单位元就是母群的单位元.
性质2:设,那么若在中的逆元为,在中的逆元为,则.
证明:
子群的判定定理1:设,那么
(1),(2)
证明:
若,(1)显然成立,而上述性质2恰说明(2)成立.
因为(1)成立中元素乘法封闭。
结合律在中成立,自然在中也成立。
由(2),再由(1)知。
由(2)
于是可知.
如果将上述定理1中的(1)和(2)进行合并,则得:
子群的判定定理2:设,则,有
证明:. 由定理1中(2),再由(1)知
(往证(1)和(2)成立)
.由条件知,即,那么,并且,所以(1)和(2)都成立,由定理1。
有限子群的判定定理:设,且,那么有.
证明:
必要性:显然。
充分性:(1)条件表明满足封闭.
(2)中满足结合律也满足结合律.
(3)因为中满足消去律中也满足消去律.
由(1)、(2)和(3)(注是有限集).
思考题1:
每个群都有二个不同的平凡子群吗?
的二个子群和有可能会吗?
为了加深印象,可从集合的角度对上述定理进行论述:
设是群的两个非空子群,那么定义:
显然和都是的非空子集,至此,可以重新定义子