文档介绍：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)(1)下列反常积分中收敛的是(A)2+∞1xdx(B)2+∞lnxxdx(C)2+∞1xlnxdx(D)2+∞xexdx【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。2+∞1xdx=2x2+∞=+∞;2+∞lnxxdx=2+∞lnxd(lnx)=12(lnx)22+∞=+∞;2+∞1xlnxdx=2+∞1lnxd(lnx)=ln?(lnx)2+∞=+∞;2+∞xexdx=-2+∞xde-x=-xe-x2+∞+2+∞e-xdx=2e-2-e-x2+∞=3e-2,因此(D)是收敛的。综上所述,本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数fx=limt→0(1+sintx)x2t在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限,直接有fx=limt→01+sintxx2t=elimt→0x2t1+sintx-1=exlimt→0sintt=ex(x≠0),fx在x=0处无定义,且limx→0fx=limx→0ex=1,所以x=0是fx的可去间断点,选B。综上所述,本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数fx=xαcos1xβ,&x>0,0,&x≤0(α>0,β>0).若f'x在x=0处连续,则(A)α-β>1(B)0<α-β≤1(C)α-β>2(D)0<α-β≤2【答案】A【解析】易求出f'x=αxα-1cos1xβ+βxα-β-1sin1xβ,&x>0,0,&x≤0再有f+'0=limx→0+fx-f0x=limx→0+xα-1cos1xβ=0,α>1,不存在,α≤1,f-'0=0于是,f'(0)存在?α>1,此时f'0=>1时,limx→0xα-1cos1xβ=0,limx→0βxα-β-1sin1xβ=0,α-β-1>0,不存在,α-β-1≤0,因此,f'x在x=0连续?α-β>1。选A综上所述,本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限(4)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其 f''(x)二阶导函数f''(x)的图形如右图所示,则曲线y=f(x)的拐点个数为 A O B x(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】f(x)在(-∞,+∞)内连续,除点x=0外处处二阶可导。y=f(x)的可疑拐点是f''x=0的点及f''(x)不存在的点。f''x的零点有两个,如上图所示,A点两侧f''(x)恒正,对应的点不是y=fx拐点,B点两侧f''x异号,对应的点就是y=fx的拐点。虽然f''0不存在,但点x=0两侧f''(x)异号,因而(0,f(0))是y=fx的拐点。综上所述,本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点(5)设函数f(μ,ν)满足fx+y,yx=x2-y2,则?f?μμ=1ν=1与?f?νμ=1ν=1依次是(A)12,0(B)0,12(C)-12,0(D)0,-12【答案】D【解析】先求出fμ,ν令μ=x+y,ν=yx,?x=μ1+ν,y=μν1+ν,于是fμ,ν=μ2(1+ν)2-μ2ν2(1+ν)2=μ2(1-ν)1+ν=μ2(21+ν-1)因此?f?μμ=1ν=1=2μ21+ν-11,1=0?f?νμ=1ν=1=-2μ2(1+ν)21,1=-12综上所述,本题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x围成的平面区域,函数f(x,y)在D上连续,则Dfx,ydxdy=(A)π4π3dθ12sin2θ1sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr(B)π4π3dθ12sin2θ1sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr(C)π4π3dθ12sin2θ1sin2θf(rcosθ,rsinθ)dr(D)π4π3dθ12sin2θ1sin2θf(rcosθ,rsinθ)dr【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x围成的平面区域,作极坐标变换,将Dfx,ydxdy化为累次积分。D的极坐标表示为π3≤θ≤π4,1sin2θ≤θ≤12sin2θ,因此Dfx,ydxdy=π4π3dθ12sin2θ1sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr综上所述,本题正确答案是B。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵A=1