考研数学二真题及答案解析.docx

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考研数学二真题及答案解析精选文档
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A)2+∞1xdx (B)2+∞lnxxdx
(C)2+∞1xlnxdx (D) 2+∞xexdx
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
2+∞1xdx=2x2+∞=+∞；
2+∞lnxxdx=2+∞lnxd(lnx)=12(lnx)22+∞=+∞；
2+∞1xlnxdx=2+∞1lnxd(lnx)=ln?(lnx)2+∞=+∞；
2+∞xexdx=-2+∞xde-x=-xe-x2+∞+2+∞e-xdx
=2e-2-e-x2+∞=3e-2，
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数fx=limt→0(1+sintx)x2t在(-∞,+∞)内
(A)连续 (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“1∞”型极限，直接有fx=limt→01+sintxx2t
=elimt→0x2t1+sintx-1=e xlimt→0sintt=ex(x≠0),
fx在x=0处无定义，
且limx→0fx=limx→0ex=1,所以 x=0是fx的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(3)设函数fx=xαcos1xβ, &x>0，0, &x≤0(α>0,β>0).若f'x在x=0处连续，则
(A)α-β>1 (B)0<α-β≤1
(C)α-β>2 (D)0<α-β≤2
【答案】A
【解析】易求出
f'x=αxα-1cos1xβ+βxα-β-1sin1xβ, &x>0，0, &x≤0
再有 f+'0=limx→0+fx-f0x=limx→0+xα-1cos1xβ=0, α>1,不存在，α≤1，
f-'0=0
于是，f'(0)存在α>1，此时f'0=0.
当α>1时，limx→0xα-1cos1xβ=0，
limx→0βxα-β-1sin1xβ=0, α-β-1>0,不存在，α-β-1≤0，
因此，f'x在x=0连续α-β>1。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，其 f''(x)
二阶导函数f''(x)的图形如右图所示，
则曲线y=f(x)的拐点个数为 A O B x
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】C
【解析】f(x)在(-∞,+∞)内连续，除点x=0外处处二阶可导。 y=f(x)的可疑拐点是f''x=0的点及f''(x)不存在的点。
f''x的零点有两个，如上图所示，A点两侧f''(x)恒正，对应的点不是y=fx拐点，B点两侧f''x异号，对应的点就是y=fx的拐点。
虽然f''0不存在，但点x=0两侧f''(x)异号，因而(0,f(0)) 是y=fx的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数f(μ,ν)满足fx+y,yx=x2-y2，则fμμ=1ν=1与fνμ=1ν=1依次是
(A)12,0 (B)0,12
(C)-12,0 (D)0,-12
【答案】D
【解析】先求出fμ,ν
令μ=x+y,ν=yx,x=μ1+ν,y=μν1+ν,
于是 fμ,ν=μ2(1+ν)2-μ2ν2(1+ν)2=μ2(1-ν)1+ν=μ2(21+ν-1)
因此fμμ=1ν=1=2μ21+ν-11,1=0
fνμ=1ν=1=-