文档介绍：2015 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：(1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)
(1)下列反常积分中收敛的是
「+ m 1 Jr + 5加了
类似的，若d至。，则r(A|b) = 3,排除©
当L0时式A|b) = r(A) = 2 Ax = h有无穷多解
综上所述，本题正确答案是Do
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。
(8)设二次型乂£小讨3)在正交变换 '二『产下的标准形为+ y? -白上，其中P = (^2^),若
Q=e L _/声£）在正交变换
发二Qf下的标准形为
(A) ：■「一■. .■■■/ (B)
2y/ + y22 - ya2
(C) '： :: : (D)
2yi2 + yz2 + V32
【答案】A
【解析】设二次型矩阵为 A,则
「2 00
P^AP = PJAP = 0 10
0 0 -1
可见El及声3都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1 ,于是-（也是A的特征向量，特征值为
-1 ,因此
「200
QrAQ = Q Tj4Q = 0 - 1 0 OOI
A
因此在正交变换发二Qy下的标准二次型为2ylM-yj + yj
综上所述，本题正确答案是Ao
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。
二、填空题：（9T4）小题，每小题4分，共24分。
(x = acrtan t , 史
(9)设［y = 31十科贝UZI.
【解析】由参数式求导法
=3(1 + t2)
再由复合函数求导法则得
「力-"|='「' ' I I '
2 2 以-48
=12Ml + t2r,壮炉一
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导
(10)函数fW = X。在X =。处的n阶导数f(n)(o)=
［答案］.「.，；.••••
【解析】
解法1用求函数乘积的质阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式*
例⑶=£屋以㈠丘严圻
其中扇=焉%.注意(.儿=0= 0/手2)，服二型「,于是
fCn)(0) = ^-2-(2^'2)1_= n(n - l)(ln2)n-2 (n > 2) 1 X — u
/(O) = 0
因此「■.■•/・••・' . I ..
解法2
利用泰勒展开I"■,
V™ 时 2 n + 2R00 出“" _m
八一京…二厂而中
irf*-2z 由于泰勒展开系数的唯一性，得
可得「■'-'1
综上所述，本题正确答案是•:' I -
【考点】高等数学一一元函数微分学一高阶导数，泰勒展开公式
(11)设函数f(均连续，用㈤=/；犷。)⑴=1,中(1) = 5,则
f(l) =
【答案】2
【解析】改写卬⑸=工4,由变限积分求导法得
<p(x) = J； + xf(x2) 2x=+ Zx2/(x2)
由中⑴=1」；「。)山，甲⑴二*a)d-"⑴= 1 + "(1)
可得■
综上所述，本题正确答案是2
【考点】高等数学一一元函数积分学一变限积分函数的性质及应用
(12)设函数y = yQ)是微分方程，十y' -廿二o的解，且在父二。处
¥值)取得极值3,则y8)二
【答案】
【解析】求yS)归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题
b⑼=3./。)二0
由特征方程炉1 ^~2 = 0可得特征根为二-2,近二L
是得通解‘
又已知
{匚I + G = 3
I - 2Q - G 二产的二L Q = 2
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学一常微分方程一二阶常系数齐次线性方程
(13)若函数£ =，(%V)由方程/卜/ 1 3z + xyz = 1确定，则
=
12
［答案］一 - 1■
【解析】先求⑼，在原方程中令乂 = 0,『二°得
e3z = 1=404)=0
方程两边同时求全微分得
b 卜"'32{dx + 2dy + 3dz) + xydz + yzdx + xzdy = 0
令九=Oty = O,z = 0 得
dx + 2dy 4- 3dz|tQ 0) = 0
i12
clz|(0P0)=-/工一招,
综上所述，本题正确答案是--1
【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分
(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1 ，&=A*-?! + E,其中E为3
阶单位矩阵，则行列式|B尸
【答案】21
【解析】A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1
所以| B|