高等数学（二） 第一章 多元函数微分学 PPT课件.ppt

文档介绍：说明: , R3中的点与向量一一对应. 因此
在无特别声明时,总用X, Y 等表R2, R3中的点(向量). 用x, y, z, a, b, c 等表实数.
" ·", 因此, 阅读教材时, 应注意区别"·a", "A ·P", "X B" 的含意.
对" +" 也类似.
以后在表述时不再区分这两个概念.
一、多元函数的概念
以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特点, 就是只有一个自变量, 函数 y 是随着这一个自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等.
§1-1 多元函数的概念
所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化.
圆柱体体积 V =  r 2 h
体积 V 随 r, h的变化而变化.
一对数(r, h),就有唯一的一个V与之对应.
或者说,任给
长方体体积V = xyz
V 随 x, y, z 的变化而变化.
一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应.
或者说, 任给
这些都是多元函数的例子. 有一个自变量的称为一元函数, 有二个自变量的称为二元函数. 有三个自变量的称为三元函数, …,有 n 个自变量的称为 n 元函数. 二元以上的函数统称为多元函数.
与一元函数类似, 我们有
二元函数定义
设D是xy平面上的一个点集,即 D  R2,
若对任意的点 X = (x, y)D  R2, 按照某个对应规则f ,总有唯一确定的实数z 与之对应, 则称 f 是定义在D上的二元实值函数,记作
f : D  R, X = (x, y)  z .
习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函数, 另外, 称 x, y 为自变量, z 为因变量.
比如 z = sinx +cosy, z = 3x2 + ey .
称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像, 记作f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值.
称 D 为函数f 下的像集 f (D)={ f (X )| XD }称为 f 的值域.
注1 一般说来, 自变量x , (x, y)D 的限制.
f (x, y) 的表达式, 算 f (x0, y0) 的方法与一元函数类似.
另外, 若给出了
如 f (X) = f (x, y) = 3x+y2, X0 = (1, 1)
则 f (X0) = f (1, 1) = 3 ·1+12 = 4
f (x+y, siny) = 3(x+y) + sin2y
注2 特别,若定义域 D 是 x y 面上一条曲线. D: y = g(x).
g
事实上, x  D 上的点f (x, g(x)) = (x, y) z .
f
= f (x, g(x))成为一元函数.
则二元函数 z = f (x, y)