文档介绍：矢量与张量
为什么学习张量
1. 物理量：标量矢量张量 X
2. 客观性：坐标系（观察者）客观规律的第一要素
第一章：矢量
矢量：

不符合这两点要求的不是矢量。转动具有大小和方向
但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。
线性相关：一组矢量中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示
线性无关：
最大线性无关组
基本运算：
点积
机械功
a
分配律证明：

a

有方向的平行四边形面积

混合积
六面体体积
改变六面体底、高顺序可证：
3.
第二讲：斜角直线坐标系
力的分解

如果
则

协变基矢量（自然基矢量）
逆变基矢量
两种坐标基矢量的作用
上下指标的不同意义：协变逆变
哑指标及其求和约定
哑指标
（求和约定）
举例：矢量分解矩阵乘法
自由指标（表达式中各项出现且只出现一次，同为上或为下指标）
取值范围内全部成立可同时换为其它字母而不影响意义
说明逆变基矢量定义表达式的指标记法
逆变基矢量的求解

1
2
3
根据

度量张量的协、逆变分量
（可用于求解高于3维的坐标系的逆变基矢量）
度量张量的作用
3.
升降指标

（单位直角坐标系下）
第三讲：曲线坐标系
曲线坐标：确定空间中一点所用的参数
①矢径
其中为直角坐标
作用：点到矢量
②典型的曲线坐标系
柱坐标系：
球坐标系：
③曲线坐标的必要条件
x
y
z

来源：
必须有唯一解（点到曲线坐标的一一对应）
坐标线 (只连续改变一个曲线坐标所对应的点形成的轨迹，通常是一条曲线)
协变基矢量：坐标线沿增加方向的切线）

极坐标系下：
但
（曲线坐标的局部性）
可见：曲线坐标系协变基矢量与位置有关（是曲线坐标的函数），模也不一定是1。
由于：
所以
把曲线坐标表述为直角坐标的函数，对直角坐标求偏导数就可得到相应的逆变基地。
2 .坐标转换
（协变转换系数、逆变转换系数）
（两种转换系数互逆）
由于
所以
（转换系数和曲线坐标间的关系）
矢量分量的转换
作业：求极坐标系的协变基矢量、逆变基矢量以及它与直角坐标系之间的转换系数。
第四讲：张量的基本概念
分量定义：
外法线为的截面上的面力：
当坐标系变换时
然而
所以
此式要求对任意的截面都成立，因而
特点：每个指标都按照矢量分量变化规律变化。这样的一组相互之间有联系的量称作张量
（指标顺序不可更换）
如度量张量：
整体表示
对于矢量，由
可自然导出：
张量也有类似的整体表示
并矢：
其运算法则与矩阵相乘完全相同：
①并矢是张量
②并矢与矢量的运算
可推广至并矢与并矢之间的点积和叉积
张量的基底是基矢量的并矢：
并矢的顺序要与指标顺序相同
基矢量指标与分量指标要构成哑指标
整体表示自然满足张量定义

不同坐标系下相同；不同基矢量（协逆变）下相同
指标升降规律与矢量分量的指标升降规律相同
同理：
指标升降不可改变指标顺序（同一竖直线上）
度量张量的性质：

张量的转置：保持基矢量并矢顺序改变其中一对分量指标的顺序所得到的张量（或保持分量指标顺序改变基矢量指标并矢顺序）
对二阶张量（介绍张量阶的概念）表示转置
若则称该张量对称。
度量张量是对称张量
举例：惯性矩张量
作业：证明：由组成的一组量是三阶张量
第五讲：
一、张量的代数运算
1. 相加：
条件：同阶张量基底相同
2. 数乘：
3. 并乘：

4. 缩并：
张量阶数减2
标量为零阶张量
（并联式、串联式）
应变能密度

应力是张量：

二、张量的矢积

逆序数：有一排列
第i 位置后小于的元素数
偶置换（奇置换）：各位的逆序数之和为偶数（奇数）