文档介绍：考点10 导数的应用(单调性、最值、极值)
【考点分类】
热点一利用导数研究函数的单调性
1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是( )
D
C
B
A

2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】若函数在是增函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.(2012年高考(辽宁文))函数y=x2㏑x的单调递减区间为 ( )
A.(1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)
【答案】B
4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】
设函数(其中).
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.
5.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设函数,,其中为
实数.
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
当,即时,,又,且函数
在的图象不间断,∴在上存在零点.
又当时,,故在是单调减函数,所以,在上只有一个零点.
综上所述,当或时,的零点个数为1;当时,的零点个数为2.
6.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】
已知函数
(Ι)设是的极值点,求,并讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,证明.
故=,
综上,当m≤2时,.
7.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】
已知函数
(I)当时,讨论的单调性;
(II)若时,,求的取值范围.
8.【2013年普通高等学校统一考试(天津卷)理科】
已知函数.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.
【答案】(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为,
9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科】
已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.
则有
0
1
-
0
+
1
减
极小值
增
1
所以.
当时,.
故.
11.(2012年高考(新课标理))已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值.
【方法总结】
求可导函数单调区间的一般步骤和方法
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它们在定义域内的一切实数根.
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.
热点二利用导数研究函数的最值极值
12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是( )
A.
C. 是的极小值点
[答案]D
13.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】已知函数f(x)=,下列结论中错误的是( )
(A), f()=0
(B)函数y=f(x)的图像是中心对称图形
(C)若是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞, )单调递减
(D)若是f(x)的极值点,则()=0
14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】设函数
( )
(A)有极大值,无极小值(B)有极小值,无极大值