文档介绍：张量分析(Tensor Analysis) 1)熟练运用符号与求和约定; Objectives 2)熟练掌握张量以及包括基矢量、度量张量等基本张量的定义; 3)熟练掌握张量的运算法则; 4)熟练运用张量表示力学的基本方程。张量的概念在三维空间,一个矢量(例如力矢量、速度矢量等)在某参考坐标系中, 有三个分量;这三个分量的集合,规定了这个矢量;当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。??????????? zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij??????????在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态,有 9个应力分量, 如以直角坐标表示,用矩阵形式列出,则有: 这9个分量的集合,规定了一点的应力状态,称为应力张量。当坐标变换时, 应力张量的分量按一定的变换法则变换。张量的概念(续) 所谓张量是一个物理量或几何量,它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定,当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的阶和结构,这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量;应力张量、应变张量是二阶张量;还有三阶、四阶等高阶张量。张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。采用张量记法表示的方程,在某一坐标系中成立,则在容许变换的其他坐标系中也成立,即张量方程具有不变性。张量是佛克脱(W. Voigt) 提出(用来表示晶体的应力(张力)状态) 。一、符号与求和约定 A) 指标变量的集合: nxxx,,, 21??nix i,,2,1,??表示为: nyyy,,, 21??njy j,,2,1,??写在字符右下角的指标,例如 x i中的 i称为下标。写在字符右上角的指标, 例如 y j中的 j称为上标; 使用上标或下标的涵义是不同的。用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母,除非作了说明,一般取从 1到n的所有整数,其中 n称为指标的范围。 B) 求和约定若在一项中,同一个指标字母在上标和下标中重复出现,则表示要对这个指标遍历其范围 1,2,3,…n求和。这是一个约定,称为求和约定。 pzazaza??? 33 22 11式中 a i, p是常数。这个方程可写成: pza ii i??? 31 应用求和约定,则这个方程可写成如下形式: pza ii?遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自由指标。例:三维空间的平面方程为: B) 求和约定(续) 注: 哑指标只是表示求和。在一项中,同一个指标字母的使用不能超过两次。?? ni iixa 1 2)(),,2,1,(njixaxa jj ii??求和约定可以推广到微分公式: 设f(x 1,x 2,···,x n) 为n个独立变量 x 1,x 2,···,x n的函数,则它的微分可写成 : 中i被认为是下标。 iidx x fdf??? ix? C) 克罗内克( Kronecker )符号克罗内克符号的定义是: ji???????)(0 )(1ji ji ji?1 33 22 11??????0 32 31 23 21 13 12????????????克罗内克符号也可写成? ij或? ij。 C) 克罗内克符号(续) 例:空间直角坐标系中,线元矢量长度的平方为: 2322212)()()(dx dx dx ds???利用克罗内克符号,上式可写成: ji ijdx dx ds?? 2jijixx?? jii jx x???? jk ik ji????克罗内克符号的一些常用性质: D) 置换符号置换符号 e ijk=e ijk定义为:????????0 1 1 ijk ijkee i,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。当 i,j,k 是1,2,3的偶置换(123,231,312) 当 i,j,k 是1,2,3的奇置换(213,132,321) 当 i,j,k 的任意二个指标相同 D) 置换符号(续) 置换符号主要可用来展开三阶行列式: 23 12 31 33 12 21 23 32 11 23 12 31 13 32 21 33 22 1133 32 31 23 22 21 13 12 11aaaaaaaaa aaaaaaaaaaaa aaa aaaa???????kji ijk jiaaaeaa 321??若以表示行列式中的普遍项,以表示行列式, 则上述行列式可写成: jia jiakn jm il ijk ilmaaae ae?