文档介绍：动力学普遍定理
动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理
和动能定理。这些定理使某些与运动有关的物理
量,如动量、动量矩和动能,和某些与作用力有
关的物理量,如冲量、力矩和功等联系起来,建
立它们之间数量上的普遍关系。应用这些定理求
解质点和质点系的动力学问题,不但数学运算得
到简化,而且会使我们更深入地了解机械运动的
性质。
第十二章动量定理
动量定理建立了质系动量的变化率
与作用于质系上外力系的主矢量之间的
关系。质系动量定理和质心运动定理也
是流体动力学及变质量质系动力学的理
论基础。
§12-1 质系动量定理
■质点及质点系的动量
动量是度量物体机械运动强度的一个物
理量。质点的动量质点的动量定义为它的质量与速度
的乘积, 即
p = mv
•动量是矢量, 其方向与质点的速度方向相同。
•动量在坐标轴上的投影是代数量。
质点系内所有质点的动量的矢量和称为质点
系的动量, 即
p = ∑pi = ∑mivi
质点系内所有质点的动量构成一个动量系, 质
点系的动量即是这个动量系的主矢量。质点系的
动量是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
■质点系的动量定理
考虑由n个质点组成的质点系,对其第i个质点应
用牛顿第二定律得
d
()m vF= ei+ F
dt i iii
d
()m vF= ei+ F
dt i iii
e
式中mivi第i个质点的动量, Fi 是作用于该质点的
i
外力的合力, Fi 是作用于该质点的内力的合力。
上式对i求和得
d
()m vF=+eiF
∑∑dt i ii∑i
d
()m vF= e
dt ∑ i ii∑
dp
= F ()e
dt ∑ i
上式表明, 质点系的动量对时间的导数等于作用
于质点系的外力系的主矢。这一结论称为质点系
的动量定理。在实际应用中常用其投影形式:
dp e d
x = F (m v ) = F e
dt ∑ ix dt ∑ i ix ∑ ix
dpy d e
e 或(m v ) = F
= ∑ Fiy ∑ i iy ∑ iy
dt dt
dp d e
z e (m v ) = F
= ∑ Fiz ∑ i iz ∑ iz
dt dt
dp d 积分
= ()m v = F ()e
dt dt ∑ i i ∑ i
t2 ()e
p2 − p1 = mivi − mivi = Fi dt
∑∑2 1 ∑∫t
1
t2 ()e
令 e
Ii = Fi dt
∫t
1
e (e)
Ii 称为力Fi 在时间间隔(t2 –t1)内的冲量,
则上式可写为:
e
p2 − p1 =∑Ii
e
p2 − p1 =∑Ii
上式表明, 质点系的动量在任一时间内的变化,
等于同一时间内作用在该质点系上所有外力的冲
量的主矢。这一结论称为质点系的冲量定理。在
实际应用中常用其投影形式:
e
p2x − p1x =∑Ix
e
p2y − p1y =∑Iy
e
p2z − p1z =∑Iz
由质点系的动量定理可知,系统动量的改变只系统动量的改变只
与外力有关与外力有关,,而与内力无关而与内力无关。。内力只能改变系统
内部的相对运动,在系统内部作动量的转移和传
递,而不能改变整个系统的动量。
■质点系的动量守恒 dp
= F e
dp dt ∑ i
∑F e ≡ 0 = 0
i dt
p =∑mivi = 常矢量
若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零,,则该则该
质点系的动量保持不变质点系的动量保持不变————质点系的动量守恒质点系的动量守恒。。
dp
x = F e
dt ∑ ix
dp
∑F e ≡ 0 x = 0
ix dt
px =∑mivix = 常数
若作用于质点系的外力系的主矢在某坐标轴上
的投影恒等于零, 则该质点系的动量在同一轴上
的投影保持不变——质点系的动量在该坐标轴方
向守恒。