文档介绍：量纲作业
整理: 夏伟光
1、 量纲是否就是单位？二者有何关系。
答:量纲不是单位。 量纲表示物理量基础属性。 不一样属性物理量含有不一样量纲。 单位是用来对物理量度量标准。
2、 “Dimension”一词有什么涵义（从中看出其演变）
“Dimension”开始有“维数”意思; 后有“长度, 尺寸”意思, 指运动学、 几何学上概念; 以后出现“量纲”涵义, 用来表示物理量基础属性。
3、 自由落体问题中, 什么是基础量和导出量, 单位系统怎样选择, 选法是否唯一？
答: 自由落体问题中含有三个变量: 下落行程h, 下落时间t, 重力加速度g。 能够以h, g为基础量, t为导出量, 以h, g为单位系统, 也能够选t, g为基础量, h为导出量。 t, g为单位系统, 选法不唯一。
4、 从物理上分析摆锤质量为何和单摆周期无关。
答: 对于一个单摆, 当摆长一定时, 摆球位置由摆角确定, 摆球运动由重力加速度g决定, 摆球运动是一个纯运动学问题, 和摆球质量无关, 所以摆球周期和摆球质量无关。
5、 什么是谐振子, 求自然频率。
答: 把振动物体看作不考虑体积微粒, 这个振动物体称作谐振子。 所谓谐振, 在运动学就是简谐振动, 该振动是物体在一个位置周围往复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动, 在这个振动形式下, 物体受力大小总是和她偏离平衡位置距离成正比, 而且受力方向总是指向平衡位置。
自频率f和弹性系数k, 微粒质量m相关。 所以
取m, k为基础量并作单位系统, 所以
6、 把π定理和有书上说相同三定理进行比较, 分析说明哪个更本质？
答: 相同三定理:
相同第一定理: 相互相同现象其同名各相同准则数值相同。
相同第二定理: 现象各物理量之间关系, 可化为相同准则关系。
相同第三定理: 如两个现象单值条件相同, 而且由单值组成各相同准则数值相同, 则两个现象相同。
相同三定理和π定理相比, 显然π定理中各表示由其单位组成无量纲量, 而这些无量纲量即是相同三定理中“同名相同准则”, 显然, 对于同一个函数f, f内各无量纲量值相同后, f值也肯定唯一, 即相同三定理中“同一类现象、 单值条件相同”等条件。
（1）相同第一定理: 即π定理中若两个现象含有相同函数, 则其无量纲量数值相同。
（2）相同第二定理: 即π定理中一个物理现象, 因变量a是n个自变量
函数, 即, 取作为单位, 将因变量a无量化为, 即无量纲化因变量是个无量纲化自变量函数。
(3) 相同第三定理: 即π定理中两个现象各无量纲量数值相同, 且函数f形式相同, 则f值也肯定唯一。
相同三定律这么复杂表述, 用π定理一句话就能得到, 显然π定理更本质。
7、 用隐函数证实π定理。
答: 把物理问题一个因变量和N-1个自变量统一视作变量, 其总数是N。 记作, 则可将物理规律表示为
不妨取前k个变量, 它们是, 其量纲分别为。 后面N-k变量是导出量, 其量纲可表示为基础量量纲幂次式:
用基础量作为单位系统, 来度量其它量, 由此得到量值全部是无量纲纯数, 它们满足关系是:
上式后面N-k个为对F起作用无量纲因变量, 记为, 所以函数关系可写为
8、 推导物理量量纲幂次表示式最终一步。
答:
两边积分得:
所以
因为
而取值也含有任意性, 可取
可得:
代入（1）式可得: C=1, 所以
可见, 和之相对应, 物理量X量纲表示式应为
9、 盛水容器底侧小孔出流速度。 （有图）
答: 小孔出流速度和容器中水高度h, 重力加速度g和小孔直径d相关。
取为基础量, 故有
将在x=0点泰勒展开,
因为是小孔, 《1, 所以≈=C, 即,
由不可压缩流体伯努利方程知 C=, 即 。
10、 若溢洪道断面为三角形, 讨论溢洪流量。 （有图）
答: 单位时间内流过挡墙质量流量Q, 控制参数有三角形底部顶角, 流体密度, 上游水头h, 重力加速度g。
取, g, h为单位系统, 则: , 所以
11、 分析定常管流摩擦系数和总管阻？什么情况下可不考虑密度影响, 说明其物理原因。
答: 摩擦系数为单位面积上管流阻力和管动压之比。 所以, 和管直径d, 液体密度, 粘度系数, 流速U相关。 即
取为基础量并作单位系统, 得
总管阻
（2）层流时, 能够不考虑密度影响。 层流时, 每个质点基础上作等速运动, 流元所受惯性力和粘性力相比较小, 惯性效应不显著。 所以可不考虑惯性即密度影响。