文档介绍：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
The Graduate School
College of Science

A Kind of Rational Interpolating Spline Surface
and Its Convesity

A Thesis in
Applied Mathematics

By

Xiang Meiling

Advised by

Prof. Tang Yuehong

Submitted in Partial Fulfillment

of the Requirements

for the Degree of

Master of Science

February, 2012
承诺书

本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进

谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成
果,也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位
或证书而使用过的材料.
本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部
分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等
复制手段保存、汇编学位论文.
(保密的学位论文在解密后适用本承诺书)

作者签名:
日期:
南京航空航天大学硕士学位论文
摘要
本文是文献[38]的扩展和改进. 首先研究了一种基于函数值的(3,2)1 阶二元有理插值样条
函数诸如边界插值、极限、解析和正则等性质, 指出极限曲面的图形是双曲抛物面, 揭示了参数
对这种插值曲面的影响. 其次推导出插值曲面凸性判定的充要条件, 并根据该条件给出数值实
例展示如何适当选取参数实现有理插值样条曲面的局部保凸性, 验证了方法的有效性.
本文特别发现了, 按文献[38]的方法, 这种插值曲面凸性在某些点处是相对刚性的, 对任意
插值数据, 无论怎样调整形状参数, 也得不到保凸的有理插值样条曲面. 这在应用上, 特别是计
算机辅助几何设计(CAGD)应用场合受到很大的限制. 针对这一不足, 本文提出了一种插值精
度为 Ok()3 (其中 k 是矩形网格的尺度)新的有理样条曲面插值方法, 改进了文献[38]方法的逼
近精度 Ok()2 , 并且解决了全局保凸插值问题. 这种(3,2)1 阶有理样条曲面插值方法, 仍具有简
洁的分片显式表示, 良好的几何性质, 并在不改变插值条件的前提下, 只需通过调整形状参数
就可进行曲面的局部修改, 能达到控制曲面形状的目的. 并通过将 Gauss 曲率表示为分母是双
8 次, 分子是双 8 次的有理函数, 利用实系数多项式零点的理论, 推导出了有理插值样条曲面保
凸的几个充分条件. 由此仅仅通过调整形状参数, 可先验地给出插值曲面的全局凸性判定, 给
出的数值实例验证了本文的方法.
关键字:二元插值; 有理样条; 插值曲面; 误差分析; 性质; 保凸性
i
一种有理插值样条曲面的保凸性研究
ABSTRACT
This paper is the expansion and the improvement of literature [38]. At first, some properties are
studied for a (3,2)1 -order bivariate rational spline interpolating function using only values of the
function being interpolated, for example, boundaries, limits, analysis and canonical etc. This paper
points out that the limit surface graph is hyperbolic paraboloid, and reveals the influence of
parameters on the rational spline interpolating surfaces. Second, the necessary and sufficient
conditions for the rational interpolation surface to be local convex are de