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文档介绍：第四章解析延拓· Γ函数
§ 解析延拓

前言:
前面我们已经从微积分,级数等不同的
角度了解到解析函数具有很多优秀的性质,然
而解析都是对一定的点和区域而言的,婴儿人
们自然想到,若能通过某种方式将解析区域扩
大,那就能使解析函数的优越性在更大范围内
体现.
我们说函数解析一定时指它在等区域或等
点解析。如,
∞
k 在
f1 ( z ) = ∑ z , | z |< 1 中解
k = 0
析
那么我们能否找到另一种形式的函数,使它在上
述区域以外的区域也解析呢?若能则解析函数
∞
k
f1 ( z ) = ∑ z ,| z |< 1
1 k = 0
确实存在一 f ( z ) = 在 z = 1 均解析,
1 − z
而在|z|<1中: ∞
1 k
f1 ( z ) = = ∑ z = f1 ( z )
1 − z k = 0
所以,它将f(z)的定义域扩大了,我们称之为
解析延拓,即简单的说
解析延拓是解析函数的定义域的扩大.
本章将学习解析延拓并在此基础上将物理上
有用的积分г(x)延拓为г(z)
中心:解析延拓和Γ函数
目的:
,掌握
初等解析函数的值由它在实轴或实轴上一段的
值唯一确定(这将为后一章留数定理计算实积
分奠定基础)
2. г(z)的定义性质


例: ∞
设 k
f1 ( z) = ∑ z , | z |< 1
k = 0
则 f1 ( z)在 s 1 :| z |< 1中解析,在| z |> 1
中发散
1
在| z |< 1内: f (z ) =
1 1 − z
i 1
∴ f ( ) =
1 i
2 1 −
2
' i 1 1
f1 ( ) = | i =
2 z= 2
2 (1− z) 2 (1− z)
'' i − 2(1− z)(−1) 2! 2!
f ( ) = | = | =
1 4 i 3 i
2 (1− z) z= (1− z) z= i 3
2 2 (1−)
2
i k!
f k ( ) =
1 i
2 (1−)k +1
2
i
f k ( )
∞ 1 i
令 2( )k
f 2 ( z) = ∑ z −
k = 0 k! 2
∞
1 i k i 1 5
= ( z −),| z −|< R ( R = 12 + ( ) 2 = )
∑ i 2 2
k = 0 (1 −)k +1 2 2
2
9 + 4 13
= =
2 2
∞
f ( z) a ( z 3 i) k ,| z 3 i | 13
3 = ∑ k − 2 − 2 < 2
k = 0
于是解析函数
f1 ( z ) ∈ s 1 :| z |< 1 → f 2 ( z ) ∈ s 2
i 5
f1 ( z )
| z −|< , 且∈ s 12
2 2 f 2 ( z )
设 f1 ( z )在 s 1中解析, f 2 ( z )在 s 2中解析
在 s 12 = s 1 ∩ s 2中, f1 ( z ) ≡ f 2 ( z )
则 f1 ( z )[或 f 2 ( z )]称 f 2 ( z )[或 f1 ( z )]为的解析延拓
如上例中
∞
k
f1 ( z ) = ∑ z , | z |< 1
k = 0
∞ 1 i
为 f ( z ) = ( z −)k
2 ∑ i
k = 0 (1 −)k +1 2
2
的解析延拓,反之亦然.
又如:在留数定理一章中,若f(x)在实轴上无奇
点,改写f(x)为f(z)。
这实为,将解析函数在实轴上的值延拓到
全平面除f(z)的奇点的所有点.
注意: f(z)∈H(s)
1 1
推广:若ïf(z)∈H(s )
ï2 2
ï •
ï
f(z)≡•
ï
ï •
ï •
ï

则 f ( z )为 f ( x )[ 或 f ( x )、 f ( x )...] 的解析函数
1 2 3