文档介绍：第四章可测函数
本章先介绍可测函数定义及其等价描述、简单性质,然后讨论可测函数与简
单函数、连续函数三者之间的相互关系,最后引入依测度收敛概念,并研究依测
度收敛与几乎处处收敛、一致收敛之间的相互关系。引入可测函数概念的目的是
探讨哪些函数才有可能按新思路改造积分定义,引入依测度收敛概念的目的在于
为新积分号下取极限时,削弱“一致收敛”这个苛刻条件作铺垫。
§ 可测函数定义及其简单性质
教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质.
本节要点可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且
有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性
特征.

先作一下特别申明,今后凡提到的函数都是允许函数值取+∞,-∞的实函
数;±∞也称为广义实数,通常的实数称为有限实数.
函数值都是有限实数的函数称为有限函数;若ョ M>0,对任意 x∈E,有
|f(x)|≤M,则称f为E上的有界函数;显然有界函数是有限函数,反之则不然。
关于包括±∞在内的实数运算作如下规定:
+∞=sup {x}, -∞= inf {x}, -∞<a<+∞
1
x∈R1 x∈R
其中 a 为有限实数,从而对于上(下)方无界的单调增(减)数列{ a n }总存在
极限,且 lim a n =+∞(-∞)
n→∞
对于任何有限实数 a,
a+(±∞)=(±∞)+a=(±∞)-a=a-( m ∞)=±∞
(±∞)+(±∞)=±∞,a/(±∞)=0,0×(±∞)=(±∞)×0=0
对任何有限实数 a>0 (<0)
a×(±∞)=(±∞)×a=(±∞)/a=(±∞) ( m ∞)
(±∞)×(±∞)=+∞,(±∞)×( m ∞)=-∞
反之(±∞)-(±∞),(±∞)+( m ∞),(±∞)/( m ∞),(±∞)/(±∞),
(±∞)/0,a/0,都认为无意义。
以上规定除了 0×(±∞)=(±∞)×0=0 与数学分析中 0,∞作为变化趋势
无穷小、无穷大时,0×(±∞)、(±∞)×0 为不定型表面看来不一致以外,其
余规定均与数学分析中的相应结果完全统一。那么这不一致的地方是否有欠妥之
处呢?其实没有,因为这里的 0 是数,而不仅仅是一个变化趋势为 0 的无穷小量,
如果要将此 0 看成无穷小量,那么只有认为对任意 n,
n→+∞ n→+∞
α n =0,当β n →+∞,则α n β n =0 → 0。
由于建立 Lebesgue 积分的思路是:作分划时将函数值接近的分在一起,这
就涉及求形如 E[a≤f<b]的测度问题。然而,令人遗憾的是第三章的研究使我们
意识到:并非所有的集合都可测,那么在实施通过对值域分划反过来分定义域时,
有可能出现 E[a≤f<b]不可测,因此有必要专门研究哪些函数才能保证形如
E[a≤f<b]的集合都可测。由于
E[a≤f<b]=E[f≥a]-E[f≥b],
所以只须研究哪些函数能保证形如 E[f≥a]的集合可测。
设 f 定义在可测集 E 上的函数,若对任意的实数 a 有
E[f≥a]可测,则称f在E上Lebesgue 可测,