文档介绍：第三章典型例题与综合练习
第一节典型例题
一、函数的单调性
例1求函数的单调区间.
解:函数的定义域是,,在处(x)不存在.
令(x)=0,即,,将函数定义域分成三个子区间:,(0,1),
当时,,f (x)单调增加;
当时,,f (x)单调减少;
当时,,f (x)单调增
所以,函数的单调增加区间为和,单调减少区间为.
二、函数极值
例1  求函数的极值.
解:函数的定义域是,且
令,得, 该函数没有不可导点.
驻点将函数定义域分成三个子区间:.
.
x
 (0,)
  
 (,1)
   1
 (1,)
 
    +
   0
    -
   0
    +
 
  
  4
 极大值
 
   0
 极小值
 
的极值情况
,是的极大值点,,极小值是.
例2欲制作一体积为30 m3的圆柱形无盖的容器,其底用钢板,侧面用铝板,若已知每平方米钢板的价格为铝板的3倍,试问如何设计圆柱的高和半径,才能使造价最低?
解:设容器的高为h,底半径为r,(见图3—1),侧面每平方米的造价为a元,总造价为y元,于是
图3-1 无盖容器
r
h
(0)
因为V==30,解得.
将代入总造价函数,得
;;令 ,得;且是总造价函数在定义域内唯一的驻点,所以
是总造价函数的极小值点,,
由此可知,,,总造价最低.
三、导数在经济分析中的应用
例1若A,B两种商品的需求函数分别为,     ,哪一种商品的需求量减少的幅度更大?
解:(1)求A种商品的需求弹性.
因为,所以==-2p
(2)求B种商品的需求弹性.
因为  ,所以==-p
(3)当价格为时,A种商品的需求弹性为,
所以,对两种商品以同样幅度提价,A种商品的需求量减少的幅度更大.
例2生产某种产品q个单位时成本函数为.
求:(1)生产90个单位该产品时的平均成本;
(2)生产90个到100个单位该产品时,成本的平均变化率;
(3)生产90个单位与生产100个单位该产品时的边际成本.
解:(1)因为;所以,当时的平均成本为
(2)因为生产90个到100个单位产品时,成本的改变量为
=200+-(200+)=95
产量的改变量为=100-90=10
所以,成本的平均变化率为
(3)因为边际成本为所以,当时,
当时,=10,即生产90个单位产品与生产100个单位产品时的边际成本分别为9和10.
本题分别求平均成本,在一定范围内成本的平均变化率,“平均”.,,成本增加值在范围内的平均,这个比值既与产量有关,,是当增量时,成本的瞬时变化率,这个值只与产量有关.
例3 某工厂生产某种商品,年产量为q(单位:百台),成本C(单位:万元),其中固定成本为2万元,而每生产1百台,,其销售收入R是q的函数R(q)=,q[0,4]
问年产量为多少时,其平均利润最大?
解:因为固定成本为2万元,生产q单位商品的变动成本为1万元.
所以成本函数C(q)=q+2,q[0,
由此可得利润函数L(q)=3q-2,q[0,4];,q(0,4]
又因为,令,得=2,=-2(舍去).
这里,=2是平均利润函数在定义域内的唯一驻点.
所以,=2是平均利润函数的极大值点,,其平均利润最大.
第二节综合练习
一、填空题
(x)在(a, b)内有,在两点处((a, b),且,,那么f (x)在(a, b)内              .
(x)=x+在区间              内是单调减少的.
(0,2)内的驻点为            .
,f (x) =取得极值,则p =               .
(x)在点的邻域内可导,、右邻域由正变负,则是f (x)的              值点.
(x)在[a, b]内恒有,则f (x)在[a, b]上的最小值为    .