文档介绍：第一章集合及其基数

集与集的运算是测度与积分理论的基础. 本章先介绍集论的一些基本
知识, 包括集与集的运算, 可数集和基数, 具有一定运算封闭性的集类如
环与σ−代数等. 然后介绍 R n 中的一些常见的点集.

§ 集合及其运算

教学目的引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算
规律.
本节要点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系
是经常要遇到的论证,
种新型的运算, 学生应理解其概念.

集是数学的基本概念之一. 它不能用其它更基本的数学概念严格定义
之, 只能给予一种描述性的说明. 例如, 数学分析中的实数集, 有理数集,
函数的定义域和值域, 满足某些给定条件的数列或函数的全体所成的集等
都是常用的集. 几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或空间的点所
构成的集.
一般用大写字母如 A, B, C 等表示集, 用小写字母如 a, b ,c 等表示集的
元素. 若 a 是集 A 的元素, 则用记号 a ∈ A表示(读作 a 属于 A). 若 a 不是集
A 的元素, 则用记号 a ∉ A表示(读作 a 不属于 A).
不含任何元素的集称为空集, 用符号∅表示. 约定分别用 R1 , Q , N 和
Z 表示实数集, 有理数集, 自然数集和整数集.
集的表示方法
第一种方法: 列举法, 即列出给定集的全部元素. 例如
A = {a,b,c}.

B = {1, 3, 5,L,2n −1,L}.
第二种方法: 描述法. 当集 A 是由具有某种性质 P 的元素的全体所构
成时, 用下面的方式表示集 A:
1
A = {x : x具有性质P}.
例如, 设 f 是定义在 R1 上的实值函数, 则 f 的零点所成的集 A 可表示成
A = {x : f (x) = 0}.
集的相等与包含设 A 和 B 是两个集. 如果 A 和 B 具有完全相同的元
素, 则称 A 与 B 相等, 记为 A=B. 如果 A 的元素都是 B 的元素, 则称 A 是 B
的子集, 记为 A ⊂ B (读作 A 包含与 B), 或 B ⊃ A (读作 B 包含 A). 若 A ⊂ B
并且 A ≠ B, 则称 A 为 B 的真子集. 按照这个定义, 空集∅是任何集的子集.
由定义知道 A = B当且仅当 A ⊂ B 并且 B ⊂ A.
集的运算
并运算与交运算设 A 和 B 是两个集. 由 A 和 B 的所有元素构成的集
称为 A 与 B 的并集, 简称为并(图 1—1), 记为 A ∪ B. 即
A ∪ B = {x : x ∈ A或者x ∈ B}.
由同时属于 A 和 B 的元素构成的集称为 A 与 B 的交集, 简称为交(图 1—2),
记为 A ∩ B. 即
A ∩ B = {x : x ∈ A并且x ∈ B}.
若 A ∩ B = ∅, 则称 A 与 B A ∪ B 为 A 与 B 的不相交并.

图 1—1 图 1—