文档介绍：第五章积分理论
本章定义了可测函数的 Lebesgue 积分,并讨论了新积分的性质、计算方法
及其与旧(Riemman)积分的关系,在条件相当弱(相对 Riemman 相应定理条件中
的一致收敛而言)的条件下证明了积分的极限定理,并利用积分的极限定理获得
了 Riemman 可积的本质特征;最后研究了重积分与累次积分的关系。
§ 非负函数积分
有了第四章的准备之后,就可以根据对可测集上定义的可测函数 f 先定义
大、小和
n n
S(D,f)= y mE[y ≤f<y ], s(D,f)= y mE[y ≤f<y ]
∑ i i−1 i ∑ i−1 i−1 i
i=1 i=1
然后分别规定sup S(D,f)、inf s(D,f)为上、下积分值,且进一步证明二者相等,
D D
从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是 Lebesgue 创立新积分的原始思路,
也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法。
然而在第四章研究可测函数的结构时,我们发现函数可测的实质是函数正、
负部下方图形可测,再加之由数学分析我们已经知道:对连续函数而言(R)积分
值是函数曲线与 x 轴,x=a,x=b 所围的 x 轴上、下方图形面积的代数和,现
遵循此基本思路直接定义新积分概念。
若 f(x)为可测集 E 上的非负可测函数,则称 mG ()f , E 为f在
E 上的 Lebesgue 积分值,记为(L) fdx,也简称 mG ( f , E)为 f 在 E 上的积分值,
∫E
并简记 fdx。若 f(x)为可测集 E 上的一般可测函数,且 f + dx=mG (f + , E),
∫E ∫E
f − dx=mG (f −, E)至少有一个有限,则称 f(x)在 E 上存在积分值,并规定积
∫E
分值为
fdx= f + dx- f − dx=mG (f + , E)-mG (f −, E);
∫E ∫E ∫E
如果-∞< fdx<+∞,则称f在E上可积。
∫E
此处作“ f − dx, f + dx 至少有一个有限”的限制在于保
∫E ∫E
证不出现∞-∞的无意义表达式。
(L)积分定义有三大优点:定义简洁、直观明了,不需大、小
和概念,不必考虑函数是否有界,定义域测度是否有限。
如何具体计算积分值呢?
1) 若 f 为可测集 E 上的非负简单函数,则 f(x)=
c i ,x∈E i (i=1,2,3,...,n), E i ∩E j ≠φ(i≠j),从而f在E上的积分值
n
为mG()f , E = ∑ c i mE i
i=1
Dinichni 函数
1, x ∈ E1 = {}x; x为[0,1]中的有理数,
D(x)=
0,x ∈ E2 = {}x; x为[]0,1中的无理数。
可积,且 Ddx=1×mE 1 +0×mE 2 =0。
∫E
2) 若 f(x)为可测集 E 上的非负可测函数,则存在 E 上的非负简单函数列
{φ n (x)}满足 0≤φ n (x)≤φ n+1 (x),φ n