0345-复变函数论直播3.ppt

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内容选讲
第四章       幂级数
第四章    幂级数
数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来,并得到某些系统的结论。不仅如此,级数可作为研究解析函数的一个重要工具,将解析函数表示为幂级数。是泰勒定理由实情形的推广,是研究解析函数的另一重要方法(注意前一章是用复积分方法研究)
第一节复级数的基本性质
1、复数项级数
设,
则复数级()收敛于
的充要条件为:
实级数及
分别收敛于a及b。
2. 一致收敛的复函数项级数
收敛
一致收敛
定理 (优级数准则)若存在正数列,使对一切,有
而且正项级数收敛,则复函
数项级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
级数
在闭圆上一致收敛。
因有收敛的优级数
定义 设函数
定义于区域D内,若级数()在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此级数在D 内内闭一致收敛。

函数项级数能逐项求导的条件是苛刻的,然而解析函数项级数求导的条件却比较宽些,这就是下面的维尔斯特拉斯定理。