文档介绍：高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第三十二讲一元微积分的应用(五)
脚本编写:刘楚中
教案制作:刘楚中
——平面曲线的曲率
第六章一元微积分的应用
本章学习要求:
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”,能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章一元微积分的应用
第七节平面曲线的曲率
一、曲率的概念
二、曲率的计算公式
三、参数方程下曲率的计算公式
四、曲率圆、曲率中心
我们已经讨论过曲线的凹凸性, 知道如
判定曲线的弯曲程度. 而在许多实际问题中
何判断曲线的弯曲方向, 但是还不能描述和
都必须考虑曲线的弯曲程度, 例如, 道路的
弯道设计, 梁的弯曲程度, 曲线形的切削工
具的设计等等.
你认为应该如何描述
曲线的弯曲程度?
单位弧长上的转角
︵
一、曲率的概念
例1
解
求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率.
如图所示, 在圆上任取一点 M , 则
︵
故
即圆上点的曲率处处相同:
半径越小的圆, 弯曲得越厉害.
设曲线方程为
则在曲线上点
处的曲率为
二、曲率的计算公式
证
如图所示,
曲线在
故
又
从而
例2
解
直线上任意一点处的曲率均为零.
俗话说, 直线不弯曲.