文档介绍：第三节
一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
幂级数
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第十一章
一、函数项级数的概念
设
为定义在区间 I 上的函数项级数.
对
若常数项级数
敛点,
所有收敛点的全体称为其收敛域;
若常数项级数
为定义在区间 I 上的函数, 称
收敛,
发散,
所有
为其收
为其发散点,
发散点的全体称为其发散域.
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为级数的和函数, 并写成
若用
令余项
则在收敛域上有
表示函数项级数前 n 项的和, 即
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数
称它
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例如, 等比级数
它的收敛域是
它的发散域是
或写作
又如, 级数
级数发散;
所以级数的收敛域仅为
有和函数
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二、幂级数及其收敛性
形如
的函数项级数称为幂级数,
其中数列
下面着重讨论
例如, 幂级数
为幂级数的系数.
即是此种情形.
的情形, 即
称
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发散
发散
收敛
收敛
发散
定理 1. ( Abel定理)
若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散.
时该幂级数发散,
则对满足不等式
证: 设
收敛,
则必有
于是存在
常数 M > 0, 使
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当时,
收敛,
故原幂级数绝对收敛.
也收敛,
反之, 若当
时该幂级数发散,
下面用反证法证之.
假设有一点
满足不等式
所以若当
满足
且使级数收敛,
面的证明可知,
级数在点
故假设不真.
的 x , 原幂级数也发散.
时幂级数发散,
则对一切
则由前
也应收敛,
与所设矛盾,
证毕
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幂级数在(-∞, +∞) 收敛;
由Abel 定理可以看出,
中心的区间.
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点,
的收敛域是以原点为
则
R = 0 时,
幂级数仅在 x = 0 收敛;
R = 时,
幂级数在(-R , R ) 收敛;
(-R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
R 称为收敛半径,
在[-R , R ]
可能收敛也可能发散.
外发散;
在
(-R , R ) 称为收敛区间.
发散
发散
收敛
收敛
发散
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定理2. 若
的系数满足
证:
1) 若≠0,
则根据比值审敛法可知:
当
原级数收敛;
当
原级数发散.
即
时,
1) 当≠0 时,
2) 当=0 时,
3) 当=∞时,
即
时,
则
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2) 若
则根据比值审敛法可知,
绝对收敛,
3) 若
则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散,
对任意 x 原级数
因此
因此
的收敛半径为
说明:据此定理
因此级数的收敛半径
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